15. Inéquation produit de deux polynômes du 2nd degré

Introduction

On continue sur les mutations. Cela commence à être un peu plus compliqué. Je vous ai demandé de trouver quand est-ce que cet énorme truc est plus petit qu'un grain. Pas de panique, vous allez habituer vos yeux à reconnaître qu'en fait ce que je vous ai écrit là, c'est un polynôme \(P(x)\) que j'ai multiplié par un autre polynôme. Encore une fois, une fois que vous avez vu que vous avez un polynôme, la technique est toujours la même. Premièrement, on va trouver les racines en utilisant le déterminant. Deuxièmement, on va dresser un tableau de signes. Et troisièmement, on va en conclure la solution. La différence ici, c'est que votre tableau de signes va avoir deux lignes, une pour le premier polynôme, une ligne pour le deuxième polynôme.

Calcul des racines

Première étape, je calcule les racines. Les racines de ce polynôme là, je vous les donne, vous savez déjà calculer : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 1\). Pour le deuxième polynôme, les racines sont \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 4\). Une fois que vous avez calculé les racines de chacun des polynômes, on va les traiter séparément.

Tableau de signes

On commence avec \(P_2(x)\), le premier polynôme. Comme d'habitude, \(x\) va de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\). Maintenant, je vais mettre dans la ligne \(x\) les deux racines de mon premier polynôme, donc je commence avec \(-2\) et ensuite je sais que ce polynôme \(P_2(x)\) pour ces valeurs qui sont les racines, mon polynôme s'annule, donc je peux dire qu'il vaut zéro. Maintenant, je me demande comment placer mon signe. Je me répète encore une fois la même phrase : le polynôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines. Donc je vais placer à l'extérieur des racines le signe de \(a\), en l'occurrence \(2\), qui est positif. Entre les racines, il sera négatif. Je recommence avec le deuxième polynôme. Les racines de mon deuxième polynôme sont \(-1\) et \(4\). Donc je positionne les racines ici, donc \(-1\) et \(4\). Rebelote, ce polynôme s'annule pour ses racines, donc il vaut \(0\). Maintenant, je me demande quel est le signe de ce polynôme à l'extérieur des racines. Je me souviens de la phrase : le polynôme est du signe de \(a\). Donc je vais placer à l'extérieur des racines le signe de \(a\), en l'occurrence \(1\), qui est positif. Donc je vais avoir du positif ici, du négatif ici et entre les deux du négatif.

Conclusion

Maintenant que j'ai fait les deux tableaux de signes pour chacun des polynômes, je vais faire le tableau de signes pour le produit des polynômes. Encore une fois, rien de plus simple, on applique la règle des signes. Pour poser les signes, j'utilise la règle du plus par plus égale plus, plus par moins égale moins, et ainsi de suite. Donc ici, j'ai quelque chose de positif fois quelque chose de positif, ça fait du positif. Ici, j'ai quelque chose de négatif fois quelque chose de positif, ça fait du négatif. Et du négatif fois du négatif donne du positif, et du négatif fois du positif donne du négatif. Deuxième étape, c'est bon, j'ai mon tableau de signes. Troisième étape, je conclus. Je veux savoir quand est-ce que ce polynôme, ce produit de polynômes, est inférieur ou égal à zéro. Donc les endroits qui vont m'intéresser, c'est cet endroit là et cet endroit là. Encore une fois, la solution, ça va être l'union de ces deux intervalles. Donc je sais déjà que ça va être \([-2, -1] \cup [1, 4]\). Voilà, vous avez votre solution. Rien de très compliqué, il faut juste apprendre à reconnaître quand un polynôme est un produit de polynômes. Allez, à vous de jouer sur l'exercice suivant.