Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment on peut très simplement trouver l'intersection de deux droites dont on nous a donné les équations. Quand vous avez deux droites, deux possibilités s'offrent à vous : soit ces droites sont parallèles, auquel cas il n'y aura pas d'intersection, soit ces deux droites ne sont pas parallèles, c'est-à-dire que même si elles sont très légèrement inclinées l'une par rapport à l'autre, vous aurez une intersection.
Intersection de deux droites
Ce que je propose, c'est que cette intersection, on la note \(I\) par exemple, et qu'on dise que ses coordonnées sont \(x\) et \(y\). Si le point \(I\) est à l'intersection de \(D\) et de \(D'\), ça veut dire que mon point est forcément sur \(D\) et sur \(D'\). Donc, il est sur l'une des deux, donc les coordonnées \(x\) et \(y\) du point vérifient les équations de \(D\) et de \(D'\). Par exemple, si \(D\) est définie par \(x + y = 1\) et \(D'\) par \(x - y = 2\), alors \(x\) et \(y\) vérifient ces deux équations. Vu que ces deux relations doivent être vérifiées en même temps (car le point \(I\) est à l'intersection et donc sur \(D\) et sur \(D'\)), on va mettre un crochet devant pour signifier qu'on veut que ces deux équations soient vérifiées en même temps. On se retrouve donc avec un système de deux équations à deux inconnus \(x\) et \(y\).
Résolution du système d'équations
Pour résoudre ce système, on peut procéder par substitution. On ne touche pas à la première équation, mais sur la deuxième, on isole \(x\), ce qui donne \(x = 2 + y\). Ensuite, on remplace \(x\) dans la première équation par \(2 + y\), ce qui donne \(2 + y + y = 1\), soit \(2 + 2y = 1\). En isolant \(y\), on obtient \(y = -1/2\). En remplaçant \(y\) dans l'équation \(x = 2 + y\), on obtient \(x = 3/2\). Donc, les coordonnées du point d'intersection sont \(3/2, -1/2\).
Si les droites avaient été parallèles, à la fin, dans votre système d'équations, vous n'auriez plus ni de \(x\) ni de \(y\), c'est-à-dire que les équations se seraient simplifiées et vous seriez arrivé à une équation du type \(0 = 3\) ou \(2 = 5\), ce qui signifie qu'il n'y a pas de solution et que donc les droites sont parallèles. Autrement, si vous avez un doute, vous pouvez vérifier en prenant les vecteurs directeurs des droites et en vérifiant s'ils sont colinéaires en calculant le déterminant. Vous êtes des champions, à vous de jouer !