Corrigé du Contrôle de Maths (Première) : Statistiques à Deux Variables

Ce sujet de maths pour le niveau Première, spécialité mathématiques, est une évaluation complète sur le chapitre des statistiques à deux variables. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il met l'accent sur la lecture, l'interprétation et la manipulation des tableaux croisés d'effectifs. Vous trouverez ici une analyse détaillée et le corrigé de chaque exercice, idéal pour préparer vos contrôles et comprendre en profondeur les notions de fréquences marginales, fréquences conditionnelles et taux d'évolution.

Ce contrôle corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner à transformer des données brutes ou des pourcentages en informations exploitables et à justifier des affirmations à l'aide de calculs statistiques précis.

Exercice 1 : Le don du sang

Cet exercice est une introduction directe à l'analyse d'un tableau à double entrée. Il évalue la capacité à extraire des informations et à calculer des fréquences de base à partir de données déjà structurées.

• Question 1 : Il s'agit de compléter une case du tableau. L'effectif total des "30 ans et plus" est de 250, dont 70 ont déjà donné leur sang. Le nombre de personnes de 30 ans et plus n'ayant jamais donné leur sang est donc de \(250 - 70 = 180\).
• Question 2 : Calcul d'une fréquence marginale. On demande la proportion de personnes ayant déjà donné leur sang sur l'ensemble de la population interrogée. La formule est : \(f_{marginale} = \frac{\text{Total donneurs}}{\text{Total population}} = \frac{100}{400} = 0.25\), soit 25%.
• Question 3 : Calcul d'une fréquence conditionnelle. La question se restreint à la sous-population des "moins de 30 ans". La fréquence est \(f(\text{Donneur} | \text{<30 ans}) = \frac{\text{Effectif(<30 ans ET Donneur)}}{\text{Effectif(<30 ans)}} = \frac{30}{150} = 0.2\), soit 20%.
• Question 4 : Un autre calcul de fréquence conditionnelle, où la condition est cette fois d'être "donneur de sang". La fréquence des "30 ans et plus" parmi les donneurs est \(f(\text{≥30 ans} | \text{Donneur}) = \frac{\text{Effectif(≥30 ans ET Donneur)}}{\text{Effectif(Donneur)}} = \frac{70}{100} = 0.7\), soit 70%.
• Question 5 : Cette question aborde la notion de point moyen d'un nuage de points, un prérequis à l'ajustement affine. Pour les points \(A(1; 4), B(2; 7), C(4; 9), D(5; 12)\), les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) sont les moyennes des coordonnées respectives :
  \(\bar{x} = \frac{1+2+4+5}{4} = 3\)
  \(\bar{y} = \frac{4+7+9+12}{4} = 8\)
  Le point moyen est donc \(G(3; 8)\).

Exercice 2 : Vélo, marche ou voiture pour aller travailler

Cet exercice ancre les statistiques dans le contexte d'une feuille de calcul (tableur). Il teste la compréhension de la structure du tableau et la capacité à automatiser les calculs de totaux et de fréquences.

• Questions 1 à 3 : Il s'agit de donner les formules de tableur. Pour D2, la formule est `=B2+C2`. Pour B6 (total mode doux), la formule est `=SOMME(B2:B5)`. Pour la fréquence conditionnelle en E2, la formule est `=B2/D2` (en supposant que la cellule est au format pourcentage) ou `=B2/D2*100`.
• Question 4 : Application numérique des calculs de fréquences conditionnelles pour chaque tranche d'âge, montrant l'évolution du comportement.
• Question 5 : Interprétation des résultats. On observe que la fréquence d'utilisation du "mode doux" augmente avec l'âge des salariés, passant de 60% pour les plus jeunes à 90% pour les plus âgés.
• Question 6 : Calcul d'une fréquence marginale : la proportion de salariés de 30 à 44 ans. \(f = \frac{200}{500} = 0.4\), soit 40%.
• Question 7 : Analyse critique d'une affirmation. L'affirmation est "Plus de la moitié des salariés qui viennent en voiture ont moins de 30 ans". On calcule la fréquence conditionnelle correspondante : parmi les 150 salariés venant en voiture, 60 ont moins de 30 ans. La proportion est \(\frac{60}{150} = \frac{2}{5} = 40%\). Comme 40% est inférieur à 50%, l'affirmation est fausse.

Exercice 3 : Les jobs d'été

Cet exercice plus complexe demande de construire un tableau croisé d'effectifs à partir d'informations données en pourcentages. C'est un test de compétence complet qui combine la conversion de pourcentages en effectifs et l'analyse du tableau résultant.

• Question 1 : La première étape cruciale est de compléter le tableau. Avec 500 élèves au total :
  - Élèves de Première : \(0.60 \times 500 = 300\)
  - Élèves de Terminale : \(500 - 300 = 200\)
  - Élèves avec un job d'été : \(0.40 \times 500 = 200\)
  - Parmi les 200 Terminales, ceux avec un job : \(0.55 \times 200 = 110\)
  Le reste du tableau se déduit par soustractions successives.
• Questions 2 à 4 : Une fois le tableau complété, on procède à des calculs de fréquences conditionnelles et marginales, comme dans les exercices précédents, pour vérifier la bonne lecture du tableau.
• Question 5 : Calcul d'un taux d'évolution. Le nombre d'élèves avec un job est passé de 160 (valeur initiale) à 200 (valeur finale). Le taux d'évolution est : \(T = \frac{V_{finale} - V_{initiale}}{V_{initiale}} = \frac{200 - 160}{160} = \frac{40}{160} = 0.25\), soit une augmentation de 25%.
• Question 6 : Comparaison de deux fréquences conditionnelles pour étayer un argument. On compare la fréquence d'avoir un job en étant en Terminale (55%) avec la fréquence d'avoir un job en étant en Première (\(\frac{90}{300} = 30%\)). Comme 55% > 30%, on peut affirmer que les élèves de Terminale ont plus souvent un job d'été que ceux de Première.