Analyse du sujet de mathématiques : Loi Binomiale en Terminale Technologique

Ce contrôle de mathématiques, destiné aux élèves de Terminale Technologique, est une évaluation complète sur le chapitre de la loi binomiale. D'une durée d'une heure, il est composé de trois exercices progressifs qui permettent de balayer l'ensemble des compétences clés relatives à ce chapitre fondamental des probabilités.

Exercice 1 : Tirages, chemins et triangle de Pascal (Vrai ou Faux)

Ce premier exercice est un questionnaire de type Vrai/Faux où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Il vise à vérifier la compréhension des concepts fondamentaux.

• Affirmation 1 : La première question évalue la capacité à reconnaître les conditions d'application d'une loi binomiale. Dans une situation de tirage sans remise dans une petite population, il faut justifier pourquoi le modèle binomial n'est pas approprié (absence d'indépendance des épreuves de Bernoulli). C'est une compétence essentielle pour ne pas appliquer des formules de manière mécanique.
• Affirmation 2 : Cette question porte sur le triangle de Pascal et le calcul de coefficients binomiaux. Il s'agit de vérifier l'égalité \( \binom{8}{3} = 56 \), un calcul de base en dénombrement et en probabilités.
• Affirmation 3 : Ici, l'élève doit effectuer un calcul direct de probabilité pour une variable aléatoire \( X \) qui suit une loi binomiale \( \mathcal{B}(4; 0,5) \). Il faut calculer \( P(X=2) \) en utilisant la formule de la loi binomiale.
• Affirmation 4 : Cette dernière affirmation teste le calcul d'une probabilité cumulative, \( P(Y \ge 1) \), pour une variable \( Y \sim \mathcal{B}(10; 0,2) \). La méthode la plus efficace consiste à utiliser l'événement contraire : \( P(Y \ge 1) = 1 - P(Y=0) \).

Exercice 2 : Calculs avec la loi \( \mathcal{B}(6; 0,3) \)

Cet exercice se concentre sur les calculs techniques liés à la loi binomiale, en s'appuyant notamment sur le triangle de Pascal.

• Question 1 : Il est demandé de construire les lignes \( n=5 \) et \( n=6 \) du triangle de Pascal, ce qui permet de retrouver facilement les coefficients binomiaux nécessaires aux calculs de probabilités.
• Question 2 : Un calcul de probabilité ponctuelle est demandé, \( P(X=2) \), pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi \( \mathcal{B}(6; 0,3) \). L'élève peut utiliser la formule ou les coefficients de la question précédente.
• Question 3 : Cette question demande le calcul d'une probabilité cumulative "inférieur ou égal", \( P(X \le 1) \), ce qui implique de sommer \( P(X=0) \) et \( P(X=1) \).

Exercice 3 : Une campagne de SMS promotionnels

Ce dernier exercice, plus complet, est un problème concret qui mobilise toutes les compétences du chapitre dans un contexte marketing. Il est divisé en deux parties.

• Partie A : Cette partie s'intéresse au gain généré par un seul SMS.
  1. Il faut d'abord établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète \( G \) représentant le gain de l'enseigne.
  2. Ensuite, il est demandé de calculer l'espérance mathématique \( E(G) \).
  3. Enfin, l'élève doit interpréter cette espérance dans le contexte de l'envoi d'un grand nombre de SMS (2000) pour estimer le gain total espéré.
• Partie B : Cette partie se focalise sur un échantillon de 10 clients et modélise la situation avec une loi binomiale.
  1. La première étape est de justifier que la variable aléatoire \( X \) (nombre de clients utilisant le code) suit une loi binomiale et d'en préciser les paramètres \( n \) et \( p \).
  2. Les questions suivantes sont des calculs de probabilités (\( P(X=0) \), \( P(X=2) \), \( P(X \ge 2) \)) avec une demande d'interprétation des résultats dans le contexte.
  3. La dernière question porte sur le calcul et l'interprétation de l'espérance \( E(X) \), qui représente le nombre moyen de clients que l'on peut s'attendre à voir utiliser le code sur 10.

Ce sujet de maths corrigé est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale Technologique, couvrant la justification, le calcul et l'interprétation des résultats liés à la loi binomiale et aux variables aléatoires discrètes.