Ce document est un sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la classe de Terminale STL (Sciences et Technologies de Laboratoire), conforme au programme de la session 2027. Ce contrôle corrigé, d'une durée de 2 heures, est un excellent entraînement à la partie mathématique de l'épreuve de spécialité physique-chimie et mathématiques. Il aborde des chapitres essentiels tels que la fonction exponentielle, la fonction logarithme, les équations différentielles et le calcul d'intégrales.

Ce sujet est composé de trois exercices indépendants qui appliquent les notions mathématiques à des contextes concrets de laboratoire, comme la cinétique chimique ou la microbiologie. Une attention particulière est portée à la qualité de la rédaction et à l'interprétation des résultats. Voici une analyse détaillée de chaque exercice :

Exercice 1 : Quatre questions de laboratoire

Cet exercice est une compilation de quatre questions indépendantes balayant plusieurs points clés du programme d'analyse de Terminale.

• Question 1 : Fonction Logarithme. On étudie la fonction \(f(x) = 2 + 3\ln(x + 1)\). Il est demandé de calculer des images, notamment \(f(0)\) et \(f(e-1)\), puis de résoudre l'équation \(f(x) = 8\), ce qui nécessite la manipulation de la fonction logarithme népérien.
• Question 2 : Fonction Exponentielle. L'étude porte sur la fonction \(g(t) = 4e^{-0,5t}\). Il faut vérifier une expression de sa dérivée, \(g'(t) = -2e^{-0,5t}\), pour ensuite déterminer le sens de variation de la fonction \(g\). La question se termine par le calcul de la limite de \(g(t)\) en \(+\infty\).
• Question 3 : Équations Différentielles (type y'=ay). On aborde ici la résolution de l'équation différentielle homogène du premier ordre \((E_1) : y' = 3y\). La tâche consiste à déterminer l'ensemble des solutions générales, puis à trouver la solution particulière qui vérifie la condition initiale \(y(0) = 2\).
• Question 4 : Primitives et Intégrales. Cette dernière question porte sur la fonction \(h(x) = 2x + \frac{1}{x}\). On demande de vérifier qu'une fonction \(H(x) = x^2 + \ln(x)\) est bien une primitive de \(h\), puis de l'utiliser pour calculer la valeur exacte de l'intégrale \(\int_1^4 h(x) dx\) et en déduire la valeur moyenne de \(h\) sur l'intervalle \([1; 4]\).

Exercice 2 : L'hydrolyse du saccharose

Cet exercice est un problème complet de modélisation, typique de la filière STL, où les mathématiques servent à décrire un phénomène chimique : la cinétique d'une réaction d'hydrolyse. La concentration en saccharose \(C(t)\) est suivie au cours du temps.

• La première question est une lecture graphique pour déterminer le temps de demi-réaction \(t_{1/2}\).
• Ensuite, l'exercice établit un lien entre la vitesse de réaction et la concentration, menant à la justification que \(C(t)\) est solution d'une équation différentielle de la forme \(y' = -0,012y\).
• La résolution de cette équation différentielle avec la condition initiale \(C(0) = 0,30\) mol/L permet de trouver l'expression explicite de \(C(t) = 0,30 e^{-0,012t}\).
• L'analyse du modèle se poursuit avec le calcul de la limite de la concentration en temps infini et son interprétation.
• Des questions de calculs demandent de résoudre des équations avec exponentielle, comme \(C(t) = C_0/2\), pour retrouver par le calcul le temps de demi-réaction, ou pour déterminer le temps nécessaire pour que 90% du produit soit hydrolysé.
• Enfin, l'exercice se conclut sur le calcul de la valeur moyenne de la concentration pendant la première heure de réaction, en vérifiant d'abord une primitive de la fonction \(C(t)\).

Exercice 3 : La mise en température d'une étuve

Ce troisième exercice est également un problème de modélisation, cette fois-ci en microbiologie. On modélise l'évolution de la température \(T(t)\) d'une étuve par une équation différentielle du type y' = ay + b, plus précisément \(y' = -0,15y + 5,55\).

• La première étape est de résoudre cette équation différentielle pour trouver sa solution générale, puis de déterminer la solution particulière \(T(t)\) qui satisfait la condition initiale (température de la pièce à \(t=0\)).
• L'étude de la fonction \(T(t)\) qui en résulte (calcul de la dérivée, sens de variation, calcul de la limite en \(+\infty\)) permet de comprendre le comportement de la température de l'étuve.
• Une question pratique consiste à déterminer par le calcul le temps nécessaire pour que l'étuve atteigne la température de 36°C, ce qui revient à résoudre une équation avec une fonction exponentielle.
• L'exercice aborde également la notion de tangente à la courbe pour analyser la vitesse de chauffe initiale.
• Pour finir, on calcule la température moyenne de l'étuve durant les 20 premières minutes, ce qui nécessite de trouver une primitive de \(T(t)\) et d'appliquer la formule de la valeur moyenne.