Ce document présente le corrigé détaillé d'un sujet de Bac Blanc de mathématiques destiné aux élèves de Terminale STL. Ce contrôle, axé sur le programme de spécialité, couvre des chapitres essentiels tels que la fonction exponentielle, la fonction logarithme, les équations différentielles et le calcul d'intégrales. Chaque exercice est analysé pas à pas pour vous aider à maîtriser les compétences requises pour l'épreuve de spécialité physique-chimie et mathématiques.

Exercice 1 : Lire, calculer, intégrer

Cet exercice est une excellente révision des fonctions exponentielles et logarithmes, ainsi que du calcul intégral. Il évalue la capacité à interpréter graphiquement, à résoudre algébriquement et à manipuler les primitives.

• Question 1 : Étude de la fonction \( f(x) = 4 - 3e^{-0.5x} \). La première partie demande une lecture graphique pour trouver \( f(0) \) et la solution de \( f(x) = 3 \). La seconde partie consiste à résoudre cette même équation par le calcul, mobilisant les propriétés de l'exponentielle et du logarithme.
• Question 2 : Manipulation des propriétés algébriques du logarithme népérien. Il faut justifier des égalités comme \( \ln(e^5 \times e^{-2}) = 3 \) et résoudre une équation simple de type \( e^{2x} = 5 \).
• Question 3 : Analyse de la fonction \( g(x) = \ln(3x + 1) \). Cet item teste le calcul de la dérivée d'une fonction composée avec un logarithme, \( g'(x) \), et la résolution de l'équation \( g(x) = 2 \).
• Question 4 : Introduction au calcul intégral. Il s'agit de déterminer une primitive de la fonction \( u(x) = e^{2x} + x \) puis d'utiliser cette primitive pour calculer la valeur exacte de l'intégrale \( \int_{0}^{1} u(x) \,dx \).

Exercice 2 : L'hydrolyse de l'aspirine en solution

Cet exercice de maths appliquées illustre comment un modèle exponentiel peut décrire un phénomène chimique, l'hydrolyse de l'aspirine. Il fait le lien entre un modèle théorique, des données expérimentales et une équation différentielle simple.

• Questions 1 et 2 : On part d'un modèle de décroissance exponentielle \( C(t) = C_0 e^{-kt} \). La première étape est de linéariser ce modèle en utilisant le logarithme népérien pour obtenir la relation \( \ln(C(t)) = -kt + \ln(C_0) \), justifiant ainsi l'alignement des points du nuage de données.
• Question 3 : À partir de l'équation de la droite d'ajustement \( y = -0,035t + 2,30 \), il faut identifier par analogie les paramètres du modèle : la constante de vitesse \( k \) et la concentration initiale \( C_0 \).
• Question 4 : Cette question aborde les équations différentielles. Il est demandé de vérifier que la fonction \( C(t) = 10e^{-0,035t} \) est bien solution de l'équation différentielle du premier ordre \( y' = -0,035y \), qui régit le phénomène. L'étude du signe de la dérivée \( C'(t) \) permet d'interpréter le sens d'évolution de la concentration.
• Questions 5 à 7 : Ce sont des applications pratiques du modèle. On y calcule le temps de demi-vie (résolution d'équation exponentielle), la proportion restante après une certaine durée et le temps au bout duquel la solution est considérée comme inutilisable (résolution d'inéquation exponentielle).

Exercice 3 : La chute d'une bille dans une huile

Ce dernier exercice est un problème classique de mécanique des fluides modélisé par une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants de la forme \( y' = ay + b \). Il permet de travailler l'ensemble des compétences liées à ce chapitre.

• Questions 1 et 2 : La première étape est de reconnaître que le mouvement de la bille est régi par l'équation différentielle \( v'(t) = -20v(t) + 8,6 \). On doit ensuite trouver l'ensemble des solutions de cette équation, puis déterminer la solution particulière qui vérifie la condition initiale (vitesse nulle au départ, \( v(0)=0 \)).
• Question 3 : Calcul de la limite de la vitesse en l'infini, \( \lim_{t \to +\infty} v(t) \), qui correspond physiquement à la vitesse limite de la bille. Ceci fait appel aux limites de la fonction exponentielle.
• Question 4 : Étude des variations de la fonction vitesse en calculant sa dérivée \( v'(t) \) et en analysant son signe.
• Question 5 : Résolution d'une inéquation avec exponentielle pour déterminer à partir de quel instant la vitesse atteint 95% de sa valeur maximale.
• Question 6 : Le problème se conclut par du calcul intégral. Il faut d'abord vérifier qu'une fonction \( V(t) \) est une primitive de la vitesse \( v(t) \), puis calculer la distance parcourue par la bille sur un intervalle de temps donné grâce au calcul de l'intégrale \( d = \int_{0}^{0.5} v(t) \,dt \).

Ce contrôle corrigé est un outil précieux pour s'entraîner en conditions réelles et valider sa compréhension des fonctions, des équations différentielles et des intégrales, thèmes centraux du programme de Terminale STL.