Ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la classe de Terminale STL (format 2027) est un excellent entraînement pour la partie mathématiques de l'épreuve de spécialité physique-chimie et mathématiques. D'une durée de 2 heures, ce contrôle corrigé balaye une grande partie du programme, en se concentrant sur les chapitres fondamentaux tels que la fonction exponentielle, la fonction logarithme, les équations différentielles et le calcul intégral. Chaque exercice est contextualisé, mêlant applications concrètes (physique-chimie, biologie) et rigueur mathématique.

Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant réviser et s'évaluer en conditions réelles. Vous y trouverez des problèmes complets qui testent non seulement la connaissance du cours, mais aussi la capacité à modéliser une situation et à interpréter les résultats.

Exercice 1 : Vrai ou faux, et trois questions (5 points)

Cet exercice est une série de questions indépendantes conçues pour évaluer rapidement la maîtrise de concepts clés sur les fonctions, les primitives, les dérivées, les limites et les équations différentielles.

• Question 1 : Il s'agit d'un Vrai/Faux avec justification.
  • a. On vous demande de vérifier si la fonction \( F(x) = x\ln(x) - x \) est bien une primitive de la fonction logarithme népérien \( f(x) = \ln(x) \). Cela nécessite de dériver \( F \) en utilisant la formule de la dérivée d'un produit.
  • b. La deuxième affirmation porte sur la dérivation de la fonction exponentielle composée \( x \mapsto e^{3x+1} \).
  • c. La dernière partie teste votre maîtrise des propriétés algébriques de la fonction logarithme à travers la résolution de l'équation \( \ln(a^5) - \ln(a^2) = 3 \).
• Question 2 : Cette question se concentre sur l'étude d'une fonction \( h(x) = (2x + 1)e^{-x} \).
  • a. Vous devez déterminer la limite de \( h(x) \) en \( +\infty \), en utilisant la croissance comparée.
  • b. Il faut ensuite calculer la dérivée \( h'(x) \) (dérivée d'un produit) et l'utiliser pour dresser le tableau de variations de \( h \) sur \( [0; +\infty[ \), en précisant le maximum.
• Question 3 : Un classique sur les équations différentielles. On vous demande de résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre \( y' = 0,5y - 3 \) avec une condition initiale \( y(0) = 10 \).
• Question 4 : Cette question aborde le calcul intégral à travers la notion de valeur moyenne. Vous devez calculer la valeur moyenne de la fonction \( x \mapsto \frac{1}{x+1} \) sur l'intervalle \( [0; 3] \). Cela implique de trouver une primitive (de la forme \( \ln(u) \)) et de calculer une intégrale définie.

Exercice 2 : Un flacon de phosphore 32 (8 points)

Cet exercice complet est un problème de modélisation sur le thème de la décroissance radioactive, un sujet classique au bac STL. L'activité d'un isotope radioactif est modélisée par une équation différentielle.

• Question 1 : On commence par résoudre l'équation différentielle du modèle, \( y' = -\lambda y \), et utiliser la condition initiale \( A(0) = 37,0 \) MBq pour établir l'expression de l'activité \( A(t) = 37e^{-\lambda t} \).
• Question 2 : En utilisant une mesure expérimentale (l'activité au bout de 14 jours), on vous demande de déterminer la valeur de la constante radioactive \( \lambda \). La résolution de l'équation \( 18,8 = 37e^{-14\lambda} \) fait appel à la fonction logarithme.
• Question 3 : On évalue la pertinence du modèle en comparant une prédiction avec une mesure, et on étudie le comportement à long terme en calculant la limite de \( A(t) \) en \( +\infty \).
• Question 4 : Une question essentielle sur la radioactivité : le calcul de la demi-vie, c'est-à-dire le temps au bout duquel l'activité est divisée par deux. Il s'agit de résoudre l'équation \( e^{-\lambda t} = 0,5 \).
• Question 5 : On résout une inéquation, \( A(t) \geq 5 \), pour déterminer la durée pendant laquelle le flacon est utilisable.
• Question 6 : Cette question fait le lien avec le calcul intégral pour déterminer le nombre total de désintégrations sur une période. Il faut d'abord trouver une primitive de la fonction \( A(t) \), puis calculer l'intégrale \( \int_0^{30} A(t) \,dt \).
• Question 7 : On termine en calculant le temps nécessaire pour que l'activité devienne négligeable, ce qui amène à résoudre une nouvelle inéquation avec la fonction exponentielle.

Exercice 3 : Une culture de levures en bioréacteur (7 points)

Ce dernier exercice est un autre problème de modélisation, cette fois-ci appliqué à la biologie avec la croissance exponentielle d'une culture de levures. Le modèle mathématique est très similaire à celui de l'exercice 2, ce qui permet de réinvestir les mêmes compétences dans un contexte différent.

• Question 1 & 2 : On établit le modèle \( D(t) = 0,10 e^{\mu t} \) à partir de l'équation différentielle \( D'(t) = \mu D(t) \) et de la condition initiale, puis on détermine le taux de croissance \( \mu \) à partir d'une mesure.
• Question 3 : On calcule le temps de génération \( G \) (temps de doublement de la population), ce qui revient à résoudre l'équation \( e^{\mu G} = 2 \).
• Question 4 : On détermine la durée de la phase exponentielle en calculant le temps nécessaire pour atteindre une densité optique donnée.
• Question 5 : On effectue un changement de variable en passant au logarithme (\( t \mapsto \ln(D(t)) \)) pour linéariser le modèle, une technique courante pour analyser des données expérimentales.
• Question 6 : L'exercice se conclut par un calcul de valeur moyenne de la densité optique sur la durée de la phase exponentielle, nécessitant de vérifier une primitive puis de calculer une intégrale.