Continuité et étude de fonctions
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Continuité d'une fonction en terminale : cours et exercices corrigés
Ce chapitre de terminale spécialité porte sur la continuité et son usage dans l'étude de fonctions : continuité en un point, continuité sur un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et son corollaire, qui permet de prouver qu'une équation f(x) = k a une unique solution et d'en donner un encadrement. Chaque compétence a sa vidéo de cours et ses exercices corrigés, à faire en ligne avec une correction détaillée. La fiche résumée sur la continuité et l'étude de fonctions reprend les définitions et les théorèmes à citer.
Continuité d'une fonction en un point
Une fonction f définie sur un intervalle contenant a est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a). Graphiquement, la courbe se trace « sans lever le crayon » au voisinage de a : il n'y a pas de saut. Les exercices sur la continuité d'une fonction en un point portent surtout sur les fonctions définies par morceaux : on calcule la limite à gauche et la limite à droite en a, puis on vérifie qu'elles sont égales à f(a).
Exemple : f(x) = x² si x ≤ 1 et f(x) = 2x + m si x > 1. À gauche de 1, f(x) tend vers 1 = f(1) ; à droite, f(x) tend vers 2 + m. La fonction est continue en 1 si et seulement si 2 + m = 1, c'est-à-dire m = −1. La fonction partie entière, qui saute d'une unité à chaque entier, est l'exemple classique de fonction non continue.
Justifier qu'une fonction est continue sur un intervalle
Pour justifier qu'une fonction est continue sur un intervalle, on n'utilise presque jamais la définition. On s'appuie sur des résultats du cours :
- les fonctions polynômes, la fonction exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur ℝ ;
- la fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞[, la fonction ln sur ]0 ; +∞[, et une fonction rationnelle sur chaque intervalle de son ensemble de définition ;
- les sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues ;
- toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue (la réciproque est fausse : la valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable).
Exemple : f(x) = √(x² + 1) est continue sur ℝ, comme composée de la fonction polynôme x ↦ x² + 1, positive et continue sur ℝ, et de la fonction racine carrée, continue sur [0 ; +∞[.
Théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires s'énonce ainsi : si f est continue sur [a ; b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution c dans [a ; b]. Ce théorème garantit l'existence d'une solution, sans dire combien il y en a ni où elles se trouvent exactement. Exemple : f(x) = x³ − 3x est continue sur [−2 ; 2], avec f(−2) = −2 et f(2) = 2 ; l'équation f(x) = 0 a donc au moins une solution dans [−2 ; 2] (elle en a en fait trois : −√3, 0 et √3).
Corollaire du TVI : solution unique et encadrement
Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ajoute la stricte monotonie pour obtenir l'unicité : si f est continue et strictement monotone sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet une unique solution α dans [a ; b]. La rédaction attendue cite les trois hypothèses : continuité, stricte monotonie, valeur k comprise entre les images des bornes.
Exemple : f(x) = x³ + x − 1 sur [0 ; 1]. La fonction est continue (polynôme) et strictement croissante, car f′(x) = 3x² + 1 > 0. De plus f(0) = −1 et f(1) = 1, et 0 est compris entre −1 et 1. L'équation f(x) = 0 a donc une unique solution α dans [0 ; 1]. Par balayage à la calculatrice, f(0,6) = −0,184 < 0 et f(0,7) = 0,043 > 0, donc 0,6 < α < 0,7. Le même théorème s'étend à des intervalles ouverts ou non bornés en remplaçant les images des bornes par des limites.
Exercice complet de continuité et étude de fonctions
L'exercice complet sur la continuité enchaîne les étapes d'une étude de fonction de type bac : justifier la continuité, calculer la dérivée, dresser le tableau de variation avec les limites, appliquer le corollaire du TVI sur chaque intervalle où la fonction est strictement monotone, encadrer la solution, puis en déduire le signe de f(x). Cette dernière étape est très fréquente : si f est strictement croissante et s'annule en α, alors f(x) < 0 avant α et f(x) > 0 après. La continuité sert aussi pour les suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) : si la suite converge vers ℓ et si f est continue en ℓ, alors ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ.
Questions fréquentes sur la continuité
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ?
On vérifie que la limite de f(x) quand x tend vers a existe et vaut f(a). Pour une fonction définie par morceaux, on calcule séparément la limite à gauche et la limite à droite en a : la fonction est continue en a si ces deux limites sont égales à f(a).
Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ?
Si une fonction f est continue sur un intervalle [a ; b], elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). Autrement dit, pour tout réel k situé entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b].
Quelle est la différence entre le TVI et son corollaire ?
Le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'au moins une solution de f(x) = k. Son corollaire, qui demande en plus que f soit strictement monotone sur l'intervalle, assure que cette solution est unique. Au bac, c'est le plus souvent le corollaire qu'il faut utiliser.
Comment justifier qu'une fonction est continue sur un intervalle ?
On invoque les fonctions de référence continues (polynômes, exponentielle, ln, racine carrée, sinus, cosinus) et les opérations qui conservent la continuité : somme, produit, quotient et composée. On peut aussi dire que la fonction est dérivable sur l'intervalle, donc continue.
Comment encadrer la solution d'une équation f(x) = k ?
Après avoir prouvé l'existence et l'unicité de la solution α avec le corollaire du TVI, on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice avec un pas de 0,1, puis de 0,01, et l'on repère l'endroit où f(x) − k change de signe. Par exemple, si f(0,6) < 0 < f(0,7) pour une fonction croissante, alors 0,6 < α < 0,7.