Généralités sur les suites
-
Généralités
Activités
Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯
Contrôle Suites et produit scalaire - sujet 17
Chapitres: Généralités sur les suites Produit scalaire
Contrôle Dérivation, suites et probabilités - sujet 55
Chapitres: Généralités sur les suites Dérivation globale ...
Contrôle Automatismes, second degré et suites - sujet 54
Chapitres: Automatismes Polynômes du second degré ...
Devoir commun Second degré, suites et probabilités conditionnelles - sujet 47
Chapitres: Polynômes du second degré Généralités sur les suites ...
Contrôle Suites arithmétiques et géométriques - sujet 3
Chapitres: Suites arithmétiques et géométriques Généralités sur les suites
Contrôle Dérivation et suites - sujet 38
Chapitres: Dérivation locale Suites arithmétiques et géométriques ...
Contrôle Second degré, trigonométrie et suites - sujet 26
Chapitres: Polynômes du second degré Trigonométrie ...
Contrôle Suites arithmétiques et géométriques - sujet 1
Chapitres: Suites arithmétiques et géométriques Généralités sur les suites
Contrôle Suites Numériques 1
Chapitres: Généralités sur les suites
Contrôle Suites Numériques 2
Chapitres: Généralités sur les suites
Contrôle Suites et second degré - sujet 34
Chapitres: Généralités sur les suites Polynômes du second degré
Contrôle sur les Suites Numériques et le Produit Scalaire
Chapitres: Généralités sur les suites Produit scalaire
Généralités sur les suites en première : cours et exercices corrigés
Ce chapitre ouvre l'étude des suites numériques en première spécialité : suite explicite et suite récurrente, calcul des termes, représentation graphique, sens de variation, conjecture d'une limite et algorithmes en Python. Chaque compétence a sa vidéo de cours et ses exercices corrigés, à faire en ligne avec une correction détaillée. Une suite (uₙ) associe à chaque entier naturel n un nombre réel uₙ, appelé terme de rang n. La fiche de révision sur les suites résume le chapitre en une page.
Suite explicite et suite récurrente
Il existe deux façons de définir une suite, à distinguer dès le début : suite explicite ou récurrente. Une suite explicite s'écrit uₙ = f(n) : on calcule directement n'importe quel terme, par exemple avec uₙ = 2n + 3, on obtient u₁₀ = 23. Une suite récurrente est donnée par son premier terme et une relation entre deux termes consécutifs, comme u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 : pour connaître u₃, il faut d'abord calculer u₁ et u₂.
Pour calculer les premiers termes d'une suite, on remplace n par 0, 1, 2… dans la formule explicite, ou l'on applique la relation de récurrence de proche en proche : avec l'exemple précédent, u₁ = 3, u₂ = 7 et u₃ = 15. Le chemin inverse consiste à exprimer uₙ en fonction de n : si les termes valent 3, 5, 7, 9… à partir de u₀, on augmente de 2 à chaque rang et uₙ = 2n + 3.
Représentation graphique d'une suite
La représentation graphique d'une suite explicite est un nuage de points isolés de coordonnées (n ; uₙ) : on ne relie pas les points, car n ne prend que des valeurs entières. Pour la représentation graphique d'une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ), on trace la courbe de f et la droite d'équation y = x, puis on construit les termes sur l'axe des abscisses en faisant des allers-retours entre la courbe et la droite. Cette construction en escalier ou en spirale aide à deviner le sens de variation et la limite.
Sens de variation d'une suite
Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ. Trois méthodes sont travaillées dans les exercices corrigés :
- la méthode de la différence : on étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ. Pour uₙ = n² + n, on trouve uₙ₊₁ − uₙ = 2n + 2, positif : la suite est croissante ;
- la méthode du quotient, réservée aux suites à termes strictement positifs : on compare uₙ₊₁/uₙ à 1. Pour uₙ = 3 × 2ⁿ, le quotient vaut 2, supérieur à 1 : la suite est croissante ;
- l'étude de fonction : si uₙ = f(n) et si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors la suite est croissante. Cette méthode ne s'applique qu'aux suites explicites.
Conjecturer la limite d'une suite
En première, la limite est une notion intuitive : on observe vers quoi les termes se rapprochent quand n devient grand. Pour conjecturer la limite d'une suite, on calcule des termes de rang élevé (à la calculatrice ou au tableur) ou l'on observe la représentation graphique. Avec uₙ = 2 + 1/n, on trouve u₁₀ = 2,1 puis u₁₀₀₀ = 2,001 : on conjecture que la suite tend vers 2. Une suite peut aussi grandir sans limite (comme uₙ = n²) ou ne se rapprocher d'aucune valeur (comme uₙ = (−1)ⁿ).
La calculatrice permet aussi de trouver un rang n à partir duquel les termes dépassent un seuil : avec le mode tableau, on fait défiler les termes jusqu'au premier qui convient. Pour uₙ = 2ⁿ et le seuil 1 000, on lit u₉ = 512 et u₁₀ = 1 024 : le rang cherché est n = 10.
Algorithmes et suites en Python
Le programme demande de programmer les suites. Pour créer un algorithme qui calcule les termes d'une suite récurrente, on initialise une variable avec u₀ puis on répète n fois l'affectation qui applique la relation, dans une boucle for. Un algorithme qui calcule une somme de termes ajoute un accumulateur S, initialisé à 0, auquel on ajoute chaque terme. Un algorithme de seuil qui donne le rang utilise une boucle while : tant que le terme ne dépasse pas le seuil, on augmente n de 1 et l'on calcule le terme suivant. Enfin, il faut savoir trouver la suite associée à un algorithme : la valeur initiale donne le premier terme et l'affectation répétée donne la relation de récurrence.
Questions fréquentes sur les suites
Quelle est la différence entre une suite explicite et une suite récurrente ?
Une suite explicite est définie par une formule uₙ = f(n) qui donne directement chaque terme à partir de son rang. Une suite récurrente est définie par son premier terme et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ) : chaque terme se calcule à partir du précédent. Par exemple, uₙ = 2n + 3 est explicite, alors que u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 définit une suite récurrente.
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?
La méthode la plus générale consiste à étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ : s'il est positif pour tout n, la suite est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante. Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer uₙ₊₁/uₙ à 1. Pour une suite explicite uₙ = f(n), on peut étudier les variations de f sur [0 ; +∞[.
Comment conjecturer la limite d'une suite ?
On calcule des termes de rangs de plus en plus grands, à la calculatrice ou au tableur, ou l'on observe le nuage de points de la suite. Si les termes se rapprochent d'un nombre ℓ, on conjecture que la suite tend vers ℓ. Il s'agit d'une conjecture : la démonstration des limites relève de la terminale.
Comment exprimer uₙ en fonction de n ?
On calcule les premiers termes et l'on cherche une régularité : écart constant entre deux termes, rapport constant, lien avec n² ou une autre expression simple. On propose alors une formule et l'on vérifie qu'elle redonne bien tous les termes connus, ainsi que la relation de récurrence si la suite en a une.
Comment écrire un algorithme qui calcule les termes d'une suite ?
On affecte le premier terme à une variable u, puis, dans une boucle for qui tourne n fois, on remplace u par son image par la relation de récurrence, par exemple u = 2*u + 1. À la fin de la boucle, la variable u contient le terme de rang n.