9. Utiliser la forme exponentielle pour trouver des modules et des arguments

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment est-ce qu'on fait pour régler ce genre d'exercice où on vous demande d'utiliser la notation exponentielle. Enfin, on vous demande ou on le sous-entend pour calculer des modules et des arguments de composés de nombres, de produits de nombres, de puissance de nombres, de quotient de nombres et ainsi de suite. C'est très simple grâce à la forme exponentielle.

Notation exponentielle

Première question que j'ai à vous poser dans cet énoncé, il y a un piège. Si vous regardez le deuxième nombre \( - 2 e^{i \pi/ 5}\), la question que je vous pose c'est : est-ce que \(2e^{i \pi/ 5}\) est une notation exponentielle ? Ceux qui ont envie de répondre oui parce que j'ai un angle ici et un nombre ici et que ce nombre là serait tout simplement le module de notre nombre complexe, vous avez faux. Pourquoi ? Parce que le module d'un nombre complexe, c'est-à-dire la longueur du vecteur qui commence à l'origine et qui finit au point qui fixe le nombre complexe, ne peut jamais être négatif. Vous n'aurez jamais une longueur négative. Donc si vous voulez donner la forme exponentielle de ce nombre, il va falloir faire un peu de travail.

Exemples d'exercices

Je vous montre comment on le fait parce que c'est un truc qui sert beaucoup en contrôle. Le secret, c'est comment est-ce qu'on va enlever ce moins qui est là. Moi je vous rappelle que le nombre -1 est en fait le nombre 1 parce que ce que j'ai ici c'est \(-1 \times 2 e^{i \pi/ 5}\). En réalité ça c'est un nombre complexe, c'est \(-1 + 0i\). Et si je le représente dans mon plan complexe, le plan complexe qui je vous rappelle a la partie réelle ici et la partie imaginaire là, mon point -1 il est ici. Donc ce point -1, je peux lui trouver un module et un argument. Son module, ça serait la longueur entre l'origine et ce point, c'est-à-dire 1, donc \(R = 1\) et son argument, ça serait l'angle qu'il fait par rapport ici, c'est-à-dire \(\pi\). Donc en fait quand j'écris \(-1 \times e^{i \pi/ 5}\), c'est comme si j'écrivais \(1 \times e^{i \pi} \times e^{i \pi/ 5}\). Attention, j'avais un 2 donc je vais remettre mon 2 ici et je remets mon 2 ici et du coup je peux écrire que c'est \(2 \times e^{i \pi} \times e^{i \pi/ 5}\) et ça, en vertu du fait que quand j'ai \(e^{a} \times e^{b}\), ça me donne \(e^{a + b}\), je me retrouve avec \(2 e^{i \pi + i \pi/ 5}\) et maintenant à l'intérieur de l'exponentielle je peux factoriser \(2 e^{i (\pi + \pi/ 5)}\) et enfin en mettant les \(\pi\) au même dénominateur, ça me fait \(2 e^{i (6 \pi/ 5)}\). Donc ce nombre là, si je le veux en notation exponentielle, c'est \(2 e^{6 i \pi/ 5}\). Ça c'est vraiment la notation exponentielle, on a transformé ce -2 en un nombre positif. Donc retenez que en fait quand vous avez un -1, sa notation complexe c'est \(e^{i \pi}\) et ça vous permet d'additionner \(\pi\) à l'argument qui est là. Trêve de parenthèses et de plaisanterie, comment est-ce qu'on fait pour répondre à la question ? Donc moi je vous ai donné un premier nombre qui est \(Z = 3 e^{i \pi/ 3}\) et un deuxième nombre qui est \(Z' = 2 e^{6 i \pi/ 5}\). Je veux le module et un argument de \(ZZ'\). \(ZZ'\) c'est tout simplement ça, \(Z\) multiplié par \(Z'\). Donc moi je prends toujours la notation exponentielle parce que ça sera plus simple : \(e^{i \pi/ 5} \times 3 e^{i \pi/ 3}\). Alors il y a une technique qui va vous amener droit dans le mur et droit dans la complexité, pas dans le mur mais dans la complexité, qui consiste à repasser ces nombres là et ces nombres là sous forme algébrique. Donc ça me fait \(2 \cos(6 \pi/ 5) + i \sin(\text{machin machin machin machin}) \times 3 \cos(\text{machin}) + i \sin(\text{machin})\). Je fais une double distributivité, linéarisme, bref l'enfer. Sinon il y a une technique beaucoup plus simple et qui ressemble exactement à ce qu'on a fait juste avant avec le -1, c'est de dire bon le \(2 \times 3\) ça me fait \(6 e^{i \pi/ 5} \times e^{i \pi/ 3}\) ça me fait \(e^{i (6 \pi/ 5 + \pi/ 3)}\). \(6 e^{6 \pi/ 5}\) ça fait \(6 \times 3 = 18\), donc \(18 \pi/ 15 + 5 \pi/ 15\), pas que je me plante, \(e^{i (23 \pi/ 15)}\). Et bien le module \(r\) c'est tout simplement 6 et un argument \(\theta\) c'est tout simplement \(23 \pi/ 15\). Et c'est aussi simple que ça, vous avez trouvé le module et un argument de \(ZZ'\). Pour \(Z^5\), \(Z^5\) c'est \(3 e^{i \pi/ 3}\) à la puissance 5. Quand vous avez \(a \times b\) le tout à la puissance \(n\), ça fait \(a^n \times b^n\). Autrement dit, vous avez le droit de distribuer la puissance dans le cas d'un produit. Donc là je me retrouve avec \(3^5 \times e^{i \pi/ 3}\) à la puissance 5. Je le recopie ici \(3^5 \times e^{i \pi/ 3}\) le tout à la puissance 5. Sauf que autre merveille de l'exponentielle, quand vous avez \(e^a\) à la puissance \(n\), ça fait \(e^{n \times a}\). Du coup mon \(e^{i \pi/ 3}^5\) il va devenir \(3^5 \times e^{i 5 \pi/ 3}\). Vous voulez un module, aucun problème, mon module c'est \(3^5\). Vous voulez un argument, aucun problème, mon argument c'est \(5 \pi/ 3\). Vous commencez à voir la puissance derrière la notation exponentielle. Si je veux faire \(Z^2 / Z'^3\), ben je vais remplacer mon \(Z^2\) ça me fait \(3 e^{i \pi/ 3}^2\) divisé par \(Z'^3\). Donc on va prendre évidemment la notation exponentielle de \(Z'\), donc \(2 e^{6 i \pi/ 5}^3\). Et c'est reparti, le 2 je le distribue une fois ici et une fois ici donc ça me fait \(3^2 \times e^{2i \pi/ 3}\) divisé par \(2^3 e^{6 i \pi/ 5}^3\). Et maintenant je recommence à mettre mon 2 à l'intérieur de mon exponentielle et mon 3 à l'intérieur de l'exponentielle. \(3^2\) ça me fait \(9 \times e^{2i \pi/ 3}\) divisé par \(2^3 = 8 \times e^{6 i \pi/ 5 \times 3}\) donc \(e^{6 i \pi}\). Et maintenant je me retrouve avec \(9/8 \times e^{2 i \pi/ 3}\) divisé par \(e^{6 i \pi}\). Je me souviens d'une formule d'exponentielle qui est de dire que quand j'ai \(e^a / e^b\), ça me fait \(e^{a - b}\). Et je me retrouve donc avec \(9/8 e^{2 i \pi/ 3 - 6 i \pi}\). Et là je peux prendre un dernier coup pour factoriser par \(i\), \(9/8 e^{i (2 \pi/ 3 - 6 \pi)}\). Et vu que le fait de faire \(- 6 \pi\) sur mon cercle trigonométrique, ça revient à faire -3 tours, en fait mon \(6 \pi\) je m'en fiche complètement, ça va me donner le même argument et mon argument c'est \(2 \pi/ 3\) et mon module \(9/8\). C'est aussi simple que ça. Donc en réalité, la notation exponentielle elle vous permet de calculer très facilement des modules et des arguments de nombres complexes quand ils sont en produit, en quotient et en puissance. On vous a mis plein d'exercices en dessous, vous allez voir, c'est vraiment des compétences de base au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.