Découvrez un sujet de contrôle complet sur les nombres complexes, spécialement conçu pour les élèves de Terminale STI2D. Ce devoir d'une heure et trente minutes, avec calculatrice autorisée, est centré sur la maîtrise de la forme exponentielle des nombres complexes et ses applications géométriques et en physique. Ce document est un excellent outil de révision, incluant des exercices variés qui balayent les compétences clés du chapitre.

Ce contrôle corrigé vous permettra de vous entraîner sur des exercices types : conversion entre formes algébrique et exponentielle, résolution d'équations, interprétation géométrique des transformations et application des formules d'Euler. Un exercice d'analyse d'erreur vous aidera également à déjouer les pièges classiques.

Exercice 1 : Rotations, racines et duplication (8 points)

Cet exercice fondamental teste votre capacité à manipuler la forme exponentielle et à faire le lien avec la géométrie du plan complexe.

• Question 1 : Il s'agit de convertir un nombre complexe de sa forme algébrique à sa forme exponentielle. Vous devrez calculer le module et l'argument du nombre complexe \(z = 2\sqrt{3} - 2i\). Cela implique de trouver \(r = |z|\) et un argument \(\theta\) tel que \(z = re^{i\theta}\). Une bonne maîtrise du cercle trigonométrique est essentielle ici.
• Question 2 : Cette question aborde l'interprétation géométrique des nombres complexes. À partir des affixes de deux points A et B, \(z_A = 3e^{i\frac{\pi}{4}}\) et \(z_B = 3e^{i\frac{3\pi}{4}}\), il faut identifier la transformation (homothétie, translation, rotation) qui transforme A en B. Le calcul du quotient \(\frac{z_B}{z_A}\) et l'analyse de son module et de son argument sont la clé pour trouver la bonne réponse parmi les propositions.
• Question 3 : On vous demande de résoudre une équation du second degré simple dans l'ensemble des nombres complexes : \(z^2 = -25\). Il faut trouver les deux racines carrées de \(-25\) et les exprimer sous forme exponentielle. C'est une application directe des propriétés des racines n-ièmes dans \(\mathbb{C}\).
• Question 4 : Un classique de la trigonométrie via les complexes. L'objectif est de démontrer la formule de duplication \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta\). La méthode attendue est d'utiliser la formule de Moivre ou d'Euler, en partant de \(e^{i2\theta} = (e^{i\theta})^2\) et en identifiant les parties réelles.

Exercice 2 : Deux courants qui se superposent (8 points)

Cet exercice est une application concrète des nombres complexes en physique (électrocinétique). Il montre comment la manipulation de fonctions sinusoïdales peut être grandement simplifiée.

L'intensité d'un courant est donnée par \(i(t) = 3\cos(100\pi t) + 4\sin(100\pi t)\). Le but est de l'écrire sous la forme plus simple \(i(t) = A\cos(100\pi t + \varphi)\), qui met en évidence l'amplitude maximale (ou intensité de crête) \(A\) et le déphasage \(\varphi\).

• Questions 1 et 5 : Calculs directs de l'intensité à des instants donnés pour vérifier la cohérence des résultats.
• Questions 2, 3 et 4 : Le cœur de l'exercice. En utilisant la formule d'addition pour le cosinus, vous devez établir un système d'équations : \(A\cos\varphi = 3\) et \(A\sin\varphi = -4\). En reconnaissant que \(A\) est le module du nombre complexe \(z = 3 - 4i\) et \(\varphi\) son argument, vous pourrez déterminer leurs valeurs. C'est un excellent exemple de la puissance des outils complexes pour résoudre des problèmes de physique.

Exercice 3 : Un argument mal choisi (4 points)

Cet dernier exercice est un exercice d'analyse critique et de correction d'erreur. Il est conçu pour vous faire réfléchir aux pièges courants, en particulier dans la détermination de l'argument d'un nombre complexe.

On vous présente le raisonnement d'un élève qui a tenté de mettre le nombre \(z = -2 + 2i\) sous forme exponentielle.

• Questions 1 et 2 : Vous devez d'abord vérifier le calcul du module (qui est correct) puis montrer que la conclusion finale de l'élève est fausse en reconvertissant sa réponse en forme algébrique.
• Question 3 : Il faut identifier précisément l'erreur de raisonnement. L'élève a calculé \(\tan\theta = -1\) et a conclu trop rapidement que \(\theta = -\frac{\pi}{4}\), sans vérifier le signe de la partie réelle et de la partie imaginaire pour situer correctement le point sur le cercle trigonométrique.
• Question 4 : Pour finir, vous devez donner la forme exponentielle correcte de \(z\) en justifiant rigoureusement le choix de l'argument (ici, \(\theta = \frac{3\pi}{4}\)).

Ce sujet de bac blanc pour STI2D est un excellent entraînement pour valider vos connaissances sur la forme exponentielle des nombres complexes. Bonnes révisions !