12. Retrouver la valeur exacte d'un cos à partir de nombres complexes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir ce genre d'exercice. On vous demande de retrouver la valeur exacte d'un \(C\) qui ne fait pas partie des cosinus que vous avez appris par cœur. On va le faire en utilisant la formule de linéarisation. Vous allez voir, c'est très simple. On se fait ça tout de suite.

Formules de linéarisation

Pour être capable de trouver la valeur exacte de \(\cos(\pi/12)\), il va falloir que vous connaissiez vos formules de linéarisation. Soit vous les apprenez par cœur, donc vous savez que \(\cos(2a)\) par exemple c'est \(\cos^2(a) - \sin^2(a)\), soit vous êtes capable de maîtriser la compétence qui est juste avant, qui est la compétence 10, et qui vous permet de retrouver les formules de linéarisation en utilisant la notation exponentielle. Donc ça, c'est à vous de choisir. Soit vous le faites dans un coin de brouillon, votre linéarisation, soit vous les apprenez par cœur. Et c'est à partir de ça qu'on va réussir à régler ce genre d'exercices.

Application de la formule de linéarisation

En l'occurrence, l'énoncé vous donne un indice assez considérable qui consiste à dire que l'on doit utiliser la linéarisation de \(\cos(2a)\). Donc je vous rappelle que \(\cos(2a)\), sa formule linéarisée, c'est-à-dire sa formule en fonction de \(\cos(a)\) et de \(\sin(a)\), c'est \(\cos^2(a) - \sin^2(a)\). Pourquoi est-ce que c'est intéressant ? Parce que si je réfléchis 2 secondes, je me rends compte qu'en fait \(\cos(\pi/12)\) c'est la moitié de \(\pi/6\). Donc ce que je peux écrire par exemple, c'est que \(\cos(\pi/6)\) c'est \(\cos(2 \times \pi/12)\). Oui, mais \(\cos(2 \times \pi/12)\) c'est \(\cos^2(\pi/12) - \sin^2(\pi/12)\) et vous voyez qu'avec ce petit artifice, j'ai fait apparaître ce que je recherche, c'est-à-dire \(\cos(\pi/12)\). Le problème, c'est qu'il y a un \(\sin(\pi/12)\) qui m'embête et un \(\cos(\pi/6)\). Oui, sauf que \(\cos(\pi/6)\) c'est une des trois valeurs que je connais par cœur. La valeur de cet objet là, \(\cos(\pi/6)\), c'est \(\sqrt{3}/2\). Donc maintenant, je sais que \(\sqrt{3}/2\) c'est \(\cos^2(\pi/12) - \sin^2(\pi/12)\). Bon, ce \(\sin^2(\pi/12)\) m'embête un peu. Qu'est-ce qu'on peut utiliser d'autre ? On peut utiliser la formule de référence que vous connaissez depuis le début sur la trigonométrie, qui est que \(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\). Du coup, \(\cos^2(\pi/12) + \sin^2(\pi/12) = 1\). Du coup, je vais isoler ce \(\sin^2(\pi/12)\), ça fait \(1 - \cos^2(\pi/12)\). Et maintenant, je peux prendre ce \(\sin^2(\pi/12)\) qui est là et le mettre à la place de ce \(\sin^2(\pi/12)\) qui est là. Du coup, si je reprends cette ligne là, ça me donne \(\sqrt{3}/2 = \cos^2(\pi/12) - (1 - \cos^2(\pi/12))\). Formidable, j'ai plus qu'à développer ce truc là. Je me retrouve donc avec \(\sqrt{3}/2 = 2\cos^2(\pi/12) - 1\). Je passe le -1 de l'autre côté, donc ça va me faire \(\sqrt{3}/2 + 1\). Je vais tout de même mettre au même dénominateur, donc ça va me faire \((\sqrt{3} + 2)/2 = 2\cos^2(\pi/12)\). Et maintenant, j'ai juste à me débarrasser de ce 2 qui m'embête, à le passer en dessous, ça va devenir un 4. Donc je vais avoir \((\sqrt{3} + 2)/4 = \cos^2(\pi/12)\). Et maintenant, j'ai plus qu'à me débarrasser du carré qui est là en mettant une racine. Sauf que vous savez que le problème, c'est que si j'enlève le carré et je mets une racine, ça va me donner \(\cos(\pi/12) = \sqrt{(\sqrt{3} + 2)/4}\). Il y a quand même un léger détail qui est le plus ou moins. Je ne sais pas si c'est la valeur positive ou la valeur négative. Sauf que \(\cos(\pi/12)\), regardez où il est votre \(\pi/12\). Si je fais un petit cercle trigonométrique, \(\pi/12\) c'est un tout petit angle qui est comme ça et la valeur des tout petits angles comme ça en terme de cosinus, elle est strictement positive. Donc je sais que je vais pas garder la partie négative et j'ai \(\cos(\pi/12) = \sqrt{(\sqrt{3} + 2)/4}\). Et vous pouvez diviser la racine en 2, une en haut et une en bas, mais ce n'est pas forcément nécessaire à ce stade. On peut s'arrêter là, on a réussi. Ça, c'est vraiment des exercices qui tombent au contrôle. On vous en a mis plein en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.