Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale STI2D est entièrement dédié au chapitre sur l'intégration. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et valider ses connaissances sur le calcul de primitives, le calcul d'intégrales, l'application au calcul d'aires et à la détermination de la valeur moyenne d'une fonction. Ce contrôle corrigé aborde ces notions à travers des exercices variés : une question ouverte de synthèse, un QCM technique et un problème complet de modélisation. C'est un support idéal pour les révisions du baccalauréat STI2D.
Exercice 1 : Le rectangle équivalent
Cet exercice est une question ouverte qui évalue la compréhension profonde de la notion de valeur moyenne d'une fonction. On considère la fonction carré \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([0, 4]\). La problématique est de trouver la hauteur \(h\) d'un rectangle de base \([0, 4]\) qui aurait exactement la même aire que la surface délimitée par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=0\) et \(x=4\).
Pour résoudre ce problème, la démarche est la suivante :
- Calculer l'aire sous la courbe : Il faut d'abord calculer l'intégrale de la fonction \(f\) sur l'intervalle donné. Cela se fait en trouvant une primitive de \(x^2\), qui est \(\frac{x^3}{3}\), puis en évaluant cette primitive aux bornes de l'intervalle : \( \mathcal{A} = \int_{0}^{4} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} \).
- Calculer l'aire du rectangle : L'aire d'un rectangle est donnée par la formule \(Longueur \times largeur\). Ici, la longueur de la base est \(4-0=4\) et la hauteur est \(h\). L'aire du rectangle est donc \(4h\).
- Résoudre l'équation : En égalisant les deux aires, on obtient l'équation \(4h = \frac{64}{3}\). En la résolvant, on trouve la hauteur \(h = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}\).
- Interpréter le résultat : La hauteur \(h\) trouvée est par définition la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0, 4]\), notée \(\mu = \frac{1}{4-0} \int_{0}^{4} f(x) dx\).
Exercice 2 : QCM
Ce questionnaire à choix multiples teste des compétences techniques de base sur le calcul intégral. Chaque réponse doit être justifiée pour être validée.
- Question 1 : Il s'agit de calculer une intégrale simple : \( \int_{1}^{2} 4x^3 dx \). La compétence requise est la recherche de primitives des fonctions puissances. Une primitive de \(4x^3\) est \(x^4\). Le calcul est donc \( \left[ x^4 \right]_{1}^{2} = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 \).
- Question 2 : Cette question évalue la maîtrise de la relation de Chasles pour les intégrales. Sachant que \( \int_{0}^{3} f(x) dx = 10 \) et \( \int_{3}^{5} f(x) dx = -4 \), on demande la valeur de \( \int_{0}^{5} f(x) dx \). En utilisant la propriété de Chasles, on additionne simplement les deux intégrales : \( \int_{0}^{5} f(x) dx = \int_{0}^{3} f(x) dx + \int_{3}^{5} f(x) dx = 10 + (-4) = 6 \).
- Question 3 : Il faut calculer l'intégrale d'une fonction constante, \( \int_{2}^{3} 5 dx \). Ceci peut être vu comme l'aire d'un rectangle de hauteur 5 et de largeur \(3-2=1\), soit une aire de 5. Par le calcul, une primitive de 5 est \(5x\), donc le résultat est \( \left[ 5x \right]_{2}^{3} = 5 \times 3 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5 \).
Exercice 3 : L'énergie consommée par un atelier
Ce problème concret est un excellent exemple d'application des outils de l'analyse (dérivation et intégration) à une situation réelle. La puissance électrique d'un atelier est modélisée par un polynôme du second degré \(P(t) = -0,1 t^2 + 0,8 t + 1\).
L'exercice guide l'élève à travers plusieurs étapes :
- Étude de la fonction puissance : La première partie se concentre sur l'étude de la fonction \(P\). Pour trouver la puissance maximale, il est nécessaire de calculer la dérivée \(P'(t) = -0,2t + 0,8\) et d'étudier son signe. Le tableau de variation montre que la puissance est maximale pour \(t=4\) heures.
- Calcul d'une primitive : L'étape suivante est purement technique. Il faut déterminer une primitive de la fonction polynomiale \(P(t)\). En utilisant les formules des primitives des fonctions puissances et la linéarité, on trouve \(F(t) = -0,1 \frac{t^3}{3} + 0,8 \frac{t^2}{2} + t\).
- Calcul de l'énergie totale : L'énergie consommée sur la journée de 8 heures est l'intégrale de la puissance sur l'intervalle \([0, 8]\). On utilise la primitive trouvée précédemment pour calculer \(E = \int_{0}^{8} P(t) dt = F(8) - F(0)\).
- Calcul de la puissance moyenne : L'exercice se termine par le calcul de la valeur moyenne de la puissance sur la journée, une application directe de la formule du cours. Cela permet de comparer la consommation moyenne à la consommation maximale.
- Analyse et interprétation : Les dernières questions demandent de calculer un coût et de confronter la puissance maximale à une limite d'abonnement, ce qui oblige à interpréter les résultats mathématiques pour prendre une décision concrète.
Ce contrôle de maths est un excellent outil pour les révisions du bac STI2D. Il couvre les compétences essentielles du chapitre sur l'intégration, des calculs de base à la résolution de problèmes complexes.