Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment savoir si on doit utiliser la formule des combinaisons avec répétition ou des arrangements dans un exercice de dénombrement. On se fait ça. Vous avez un exercice du style : Marc fabrique des colliers de perles. Il possède cinq différents types de perles. Combien de colliers peut-il faire s'il fait des colliers de 20 perles ? Et là, vous vous dites, premièrement, quelle formule je vais utiliser ? Est-ce que c'est des combinaisons ou des arrangements ? Et deuxièmement, il faut vous demander, mais qui est \(n\) et qui est \(k\) ? Parce que ce n'est pas tout d'avoir la bonne formule, mais il faut encore savoir qui est \(n\) et qui est \(k\).
Choix de la formule
Pour savoir quelle formule utiliser, je propose qu'on utilise la fiche qui s'affiche. Donc, dans cette fiche, on va se poser des questions successivement pour savoir si on utilise plutôt telle formule ou une autre. Première question : est-ce que je travaille sur un seul ensemble ? A priori, Marc, quand il fait ses colliers de perles, ce n'est pas comme s'il alternait des perles et je ne sais quoi d'autre. Il fait visiblement des colliers uniquement avec des perles. Donc, on va travailler sur un seul ensemble.
Est-ce que l'ordre compte ? C'est-à-dire, si Marc fait un collier avec une perle verte, une perle bleue, une perle rouge, ça serait différent d'un collier où il y aurait par exemple une perle bleue, puis une perle verte, puis une perle rouge. Donc, à la question est-ce que l'ordre compte, est-ce que l'ordre va créer des objets différents, évidemment oui, dans un collier de perles, l'ordre des perles compte.
On passe à la question suivante : est-ce qu'il y a une remise ? C'est-à-dire, est-ce que j'ai le droit d'utiliser plusieurs fois un des éléments de l'ensemble dans lequel je pioche ? Pour les perles, rien ne vous empêche d'avoir plusieurs fois la même perle. Donc, il y a une remise possible.
Application de la formule
Je sais que je suis en train de calculer des combinaisons avec répétition. La question maintenant, c'est comment est-ce que je vais utiliser la formule qui s'affiche, c'est-à-dire comment est-ce que je vais utiliser \(n^k\). Qui est \(n\) et qui est \(k\) ?
On va sur le dessin habituel. On va d'abord dessiner l'ensemble dans lequel on prend les objets, en l'occurrence l'ensemble des perles. Donc, j'ai cinq types de perles. Donc, \(n\) est égal à 5. Et maintenant, vous vous dites, combien de ces éléments vais-je prendre ? Et là, vous vous dites, c'est quoi \(k\) ? En fait, \(k\) c'est aussi le nombre de perles dans votre collier. Il y en a combien des perles dans le collier ? Il y en a 20. Donc, \(k\) est égal à 20.
Du coup, vous savez que le nombre de colliers de perles que vous pouvez faire, d'après la formule qui s'affiche dans la fiche, c'est \(n^k\), c'est-à-dire \(5^{20}\). Vous pouvez directement donner la valeur du nombre si vous avez envie, mais \(5^{20}\) est une très bonne réponse à la question : combien de colliers est-ce que je peux réaliser avec cinq types de perles différents ?
Deuxième exercice
Deuxième exercice : combien de nombres différents peut-on former avec les chiffres 1, 3, 5 et 7, sachant que les nombres ont une longueur de 10 chiffres ? Donc, combien de nombres de dix chiffres je peux faire, sachant que je peux utiliser 1, 3, 5 et 7 ?
On commence avec notre fiche. Est-ce que c'est un seul ensemble ? A priori, 1, 3, 5 et 7, c'est le même groupe de chiffres, c'est un ensemble de chiffres. Est-ce que l'ordre compte ? Donc, la question qu'on se pose dans ce deuxième exercice, c'est est-ce que par exemple 17 est la même chose que 71 ? Évidemment, non, ce n'est pas du tout la même chose. Donc, à la question est-ce que l'ordre compte, oui, l'ordre compte.
Question suivante : est-ce qu'il y a une remise ? Rien dans l'énoncé ne me dit que je n'ai pas le droit d'utiliser deux fois le même chiffre. Donc, il y a une remise. Et donc, si il y a une remise, la formule à utiliser, c'est évidemment \(n^k\). Sauf que, qu'est-ce qui est \(n\) ici ? Eh bien, c'est la taille de l'ensemble dans lequel j'ai pioché les chiffres. Donc, mon ensemble est \(\{1, 3, 5, 7\}\), donc il y a quatre éléments, donc \(n\) est égal à 4. Pour faire un nombre de dix chiffres, j'en ai besoin de 10, donc \(k\) est égal à 10. Donc, ça va être \(4^{10}\).
On vous a mis des petits exercices en dessous pour que vous compreniez, que vous soyez capable de faire la différence entre cette étape, c'est-à-dire la remise, et l'étape d'avant, c'est-à-dire est-ce que l'ordre compte ou pas. Allez-y, ça commence très tranquillement, c'est très classique, vous allez certainement retrouver ce que vous avez au contrôle. À vous de jouer, vous êtes des champions.