Découvrez le corrigé détaillé de ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la Terminale, spécialité maths. Ce contrôle complet, d'une durée de 2 heures, évalue vos connaissances sur des chapitres fondamentaux : l'analyse de fonctions (limites, continuité, dérivation, convexité) et la géométrie dans l'espace (produit scalaire, orthogonalité, représentations paramétriques et équations cartésiennes). C'est un excellent sujet pour s'entraîner efficacement pour l'épreuve finale.

Exercice 1 : Étude complète d'une fonction et application (11 points)

Cet exercice est un problème d'analyse classique qui teste la capacité à étudier une fonction en profondeur et à interpréter les résultats dans un contexte de modélisation physique. Il est divisé en une partie théorique et une partie appliquée.

Partie A : Étude de la fonction f

La fonction étudiée sur l'intervalle \( [0; +\infty[ \) est \( f(x) = (20x + 10)e^{-\frac{1}{2}x} \).

• Question 1 : Limite et asymptote. Il est demandé de déterminer la limite de \( f \) en \( +\infty \). Cette étape cruciale nécessite l'application des théorèmes de croissances comparées pour lever la forme indéterminée \( \infty \times 0 \). Le résultat permet d'identifier une asymptote horizontale à la courbe représentative \( \mathcal{C} \) de la fonction.
• Question 2 : Dérivée et variations. Vous devez calculer la fonction dérivée \( f'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'un produit. L'étude du signe de cette dérivée est ensuite nécessaire pour dresser le tableau de variations complet de \( f \), qui révèle notamment la valeur de son maximum.
• Question 3 : Théorème des valeurs intermédiaires. Cette question est une application directe du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Il faut justifier que l'équation \( f(x) = 10 \) admet une unique solution \( \alpha \) et en donner une valeur approchée à \( 10^{-2} \) près à l'aide de la calculatrice.
• Question 4 : Convexité et point d'inflexion. À partir de l'expression de la dérivée seconde \( f''(x) = (5x - 17,5) e^{-\frac{1}{2}x} \) qui est fournie, l'objectif est d'étudier la convexité de la fonction \( f \). L'étude du signe de \( f''(x) \) permet de localiser l'abscisse de l'éventuel point d'inflexion de la courbe \( \mathcal{C} \).
• Bonus : Équation différentielle. En bonus, il est demandé de démontrer que \( f \) est une solution de l'équation différentielle \( (E) : y' + \frac{1}{2} y = 20e^{-\frac{1}{2}x} \).

Partie B : Étude de la température d'une réaction chimique

La fonction \( f \) modélise l'évolution de la température. Cette partie est un test de votre capacité à transposer des résultats mathématiques abstraits en conclusions concrètes.

• Les questions portent sur l'interprétation de la limite (température à long terme), la recherche de la température maximale, et l'instant où la température redescend à sa valeur initiale, en s'appuyant directement sur les réponses de la partie A.

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (9 points)

Ce deuxième exercice est un problème de géométrie analytique dans un repère orthonormé. Il balaye les compétences essentielles sur le produit scalaire, les vecteurs, les droites et les plans.

• Question 1 : Orthogonalité et angle. Le calcul du produit scalaire des vecteurs \( \vec{OA} \) et \( \vec{OB} \) permet de vérifier si les droites sont orthogonales. Par la suite, la formule du cosinus issue du produit scalaire est utilisée pour calculer une mesure de l'angle \( \widehat{AOB} \).
• Question 2 : Équation cartésienne d'un plan. Il s'agit de vérifier qu'une équation donnée est bien celle du plan (OAB) en s'assurant que les coordonnées des trois points non alignés O, A et B la satisfont.
• Question 3 : Représentation paramétrique d'une droite. Détermination d'une représentation paramétrique de la droite (CA), un savoir-faire de base en géométrie dans l'espace.
• Question 4 : Plan parallèle. Il faut trouver l'équation d'un plan \( \mathcal{P} \) parallèle à (OAB). La clé est de comprendre que deux plans parallèles partagent le même vecteur normal.
• Question 5 : Intersection et parallélisme. Cette question combine plusieurs compétences : trouver le point d'intersection F d'une droite et d'un plan en résolvant un système, puis démontrer le parallélisme de deux droites (EF) et (AB) en prouvant la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
• Question 6 : Projeté orthogonal et distance. Pour la dernière question, il faut démontrer qu'un point H est le projeté orthogonal de C sur le plan (OAB). La méthode consiste à vérifier l'appartenance de H au plan et l'orthogonalité du vecteur \( \vec{CH} \) au plan. La distance du point C au plan est alors simplement la norme du vecteur \( \vec{CH} \).