Contrôle Corrigé sur le Logarithme Népérien - Terminale Maths Complémentaires

Ce sujet de maths pour les élèves de Terminale en option Maths Complémentaires est une évaluation complète sur le chapitre du logarithme népérien. D'une durée de 55 minutes, ce contrôle couvre les compétences fondamentales liées à la fonction ln, de la résolution d'équations et inéquations à l'étude de fonctions, en passant par la manipulation des propriétés algébriques et l'analyse d'un algorithme historique de calcul de logarithmes. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation en classe.

Ce document est un sujet de contrôle, il ne contient pas le corrigé détaillé mais présente les exercices qui permettent de tester les savoir-faire essentiels. Les exercices sont variés et de difficulté progressive.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales (4,5 points)

Le premier exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) en six questions. Chaque question demande une justification, ce qui oblige à bien maîtriser les concepts de base du chapitre sur le logarithme népérien et la fonction exponentielle. Les thèmes abordés sont :

• Question 1 : Résolution d'une équation exponentielle simple. Il s'agit de résoudre l'équation e^2x = 3. La compétence testée est l'utilisation de la fonction logarithme comme fonction réciproque de l'exponentielle.
• Question 2 : Détermination de l'ensemble de définition d'une fonction logarithme. La question porte sur la fonction f(x) = ln(3-x), qui requiert de savoir que l'argument du logarithme doit être strictement positif.
• Question 3 : Résolution d'une inéquation avec le logarithme. Il faut résoudre ln(x) ≤ 2, en pensant à la fois à appliquer la fonction exponentielle pour isoler x et à respecter l'ensemble de définition du logarithme.
• Question 4 : Résolution d'une équation logarithmique plus complexe. L'équation ln(x) + ln(x-1) = ln(6) demande l'utilisation de la propriété fondamentale ln(a) + ln(b) = ln(ab), menant à une équation du second degré qu'il faut résoudre tout en vérifiant la validité des solutions dans le domaine de définition initial.
• Question 5 : Dérivation d'une fonction composée avec le logarithme. La question demande de calculer la dérivée de la fonction g(x) = ln(x² + 1), ce qui implique de connaître la formule de dérivation de ln(u(x)).
• Question 6 : Étude de fonction pour trouver un extremum. Il s'agit de déterminer le minimum de la fonction h(x) = x - 2ln(x) sur ]0; +∞[. Cela nécessite de dériver la fonction, d'étudier le signe de la dérivée et de dresser le tableau de variations pour identifier le minimum.

Exercice 2 : L'algorithme de Briggs (8 points)

Cet exercice plonge les élèves dans l'histoire des mathématiques avec l'algorithme de Henry Briggs pour le calcul des tables de logarithmes. Il combine l'étude de suites, les propriétés des logarithmes et l'algorithmique.

• Question 1 : Manipulation des propriétés du logarithme. On commence par justifier la formule ln(√a) = (1/2)ln(a), puis on l'applique à une suite définie par récurrence a_k+1 = √a_k pour établir la relation ln(a) = 2ⁿ ln(a_n). Cette question fait le lien entre les logarithmes et les suites géométriques (implicitement).
• Question 2 : Application numérique et conjecture. En prenant a=2, on calcule les premiers termes de la suite et on observe leur comportement. L'exercice introduit l'approximation fondamentale ln(1+h) ≈ h pour h proche de 0, permettant de déduire une formule d'approximation de ln(a).
• Question 3 : Algorithmique Python. Il est demandé de compléter une fonction Python qui implémente la méthode de calcul de l'approximation de ln(a) vue précédemment. Cela teste la capacité à traduire une formule mathématique en langage de programmation.
• Question 4 : Analyse de la convergence. En comparant les valeurs obtenues par l'algorithme pour différentes valeurs de n avec la valeur de ln(2) donnée par la calculatrice, on évalue la précision et la convergence de la méthode de Briggs.
• Question 5 : Débogage d'un programme Python. Une seconde version du programme, utilisant une boucle `while`, est présentée avec une erreur. L'élève doit identifier et corriger l'erreur, puis justifier pourquoi le résultat obtenu est bien une approximation du logarithme recherché, en se basant sur le critère d'arrêt de la boucle.

Exercice 3 : La propriété fondamentale et la table de Briggs (7,5 points)

Le dernier exercice revient sur les fondements théoriques du logarithme et leur application pratique. Il est divisé en trois parties indépendantes mais logiquement connectées.

• Partie A : La propriété fondamentale : Cette partie est une démonstration de cours. On redémontre la propriété fondamentale ln(ab) = ln(a) + ln(b) et la propriété ln(1/a) = -ln(a) à partir de la définition du logarithme comme réciproque de l'exponentielle.
• Partie B : Calculer avec une table : C'est une application directe de la propriété fondamentale. À partir d'un extrait de table de logarithmes (ln(2), ln(3), ln(5), ln(7)), on demande de calculer une valeur approchée de ln(35 × 48). L'objectif est de décomposer 35 et 48 en produits de facteurs premiers pour utiliser les valeurs de la table.
• Partie C : L'approximation de Briggs : Cette partie vise à justifier rigoureusement l'approximation ln(1+h) ≈ h utilisée dans l'exercice 2, en prouvant l'inégalité ln(1+x) ≤ x pour tout x > -1. Pour cela, on étudie une fonction auxiliaire f(x) = x - ln(1+x). L'étude complète de cette fonction (calcul de la dérivée, étude de son signe, tableau de variations et détermination de son extremum) permet de conclure sur le signe de f(x) et donc de prouver l'inégalité.

En conclusion, ce sujet de maths est un excellent outil de révision sur le logarithme népérien, abordant à la fois les calculs de base, les propriétés algébriques, l'étude de fonctions complexes et même des applications historiques et algorithmiques.