Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Terminale (spécialité maths complémentaires) est entièrement dédié au chapitre sur le logarithme népérien. Il constitue une excellente préparation à l'évaluation, couvrant un large éventail de compétences, de la question de cours à la résolution de problèmes complexes. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque exercice.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale, Maths complémentaires, Logarithme népérien, étude de fonction, suites géométriques, inéquations, optimisation.

Exercice 1 : Question de cours

L'objectif de cet exercice est de redémontrer la formule de la dérivée de la fonction logarithme népérien. Les étapes sont les suivantes :

• Rappel de la définition de la fonction \( \ln \) comme fonction réciproque de l'exponentielle, justifiant que \( e^{\ln x} = x \).
• Utilisation de la formule de dérivation des fonctions composées (en particulier \( (e^u)' = u'e^u \) ) pour dériver l'expression \( g(x) = e^{\ln x} \).
• En égalant la dérivée de \( g(x) \) (qui est 1, puisque \( g(x)=x \)) à l'expression trouvée, on en déduit que \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \).
• Application de la formule générale de la dérivée de \( \ln(u(x)) \), qui est \( \frac{u'(x)}{u(x)} \), au cas de la fonction \( x \mapsto \ln(3x+1) \).

Exercice 2 : Lecture graphique et propriétés

Cet exercice se base sur l'analyse graphique des courbes des fonctions \( x \mapsto \ln x \) et \( g(x) = \ln(3x) \). Il teste la capacité à :

• Effectuer des lectures graphiques pour obtenir des valeurs approchées (comme \( \ln 3 \)).
• Utiliser les propriétés algébriques du logarithme (\( \ln(ab) = \ln a + \ln b \)) pour montrer que \( g(x) - \ln x = \ln 3 \), ce qui traduit une translation verticale entre les deux courbes.
• Résoudre graphiquement une inéquation comme \( g(x) \le 1 \) en identifiant la portion de courbe située sous une droite horizontale.
• Résoudre par le calcul des équations et inéquations faisant intervenir le logarithme, comme \( \ln(3x) \le 1 \) ou \( \ln(3x) = 0 \), en utilisant la fonction exponentielle.

Exercice 3 : Problème d'étude de fonction (Antalgique)

Ce problème concret, divisé en deux parties, est une étude de fonction complète typique du baccalauréat.

Partie A : L'effet brut

On étudie le "score de soulagement" modélisé par la fonction \( E(x) = 20 \ln(1 + 0,5x) \). Les questions portent sur :

• Le calcul de la dérivée \( E'(x) \) et l'étude de son signe pour en déduire le tableau de variations de \( E \).
• La résolution d'une équation avec logarithme (\( E(x) = 40 \)) pour trouver la dose correspondant à un certain effet.
• La résolution d'une inéquation avec logarithme (\( E(x) \ge 30 \)) pour déterminer une plage de doses efficaces.

Partie B : Le bénéfice net

On optimise le "bénéfice net" \( B(x) = E(x) - x \). Cette partie évalue :

• La capacité à dériver une fonction plus complexe et à étudier le signe de sa dérivée \( B'(x) = \frac{18-x}{2+x} \) pour trouver le maximum de la fonction.
• La recherche d'un extremum pour un problème d'optimisation : quelle dose donne le meilleur bénéfice net ?
• L'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour démontrer qu'une équation, ici \( B(x) = 25 \), admet un certain nombre de solutions sur un intervalle donné.

Exercice 4 : Suites géométriques et logarithmes

Ce dernier exercice lie le logarithme aux suites, un autre grand chapitre du programme. Une situation de désinfection par UV est modélisée par une suite géométrique \( u_n \) représentant le nombre de bactéries restantes.

• Justification de l'expression explicite de la suite géométrique \( u_n = 2 \times 10^6 \times 0,15^n \).
• Compréhension et complétion d'un algorithme Python qui détermine le nombre de passages nécessaires pour atteindre un seuil de désinfection.
• Résolution par le calcul de l'inéquation \( u_n \le 200 \). Cette étape cruciale nécessite de passer par le logarithme népérien pour "faire descendre" l'inconnue \( n \) de l'exposant : \( 0,15^n \le 10^{-4} \implies n \ln(0,15) \le \ln(10^{-4}) \). L'attention est portée sur le changement de sens de l'inégalité car \( \ln(0,15) < 0 \).

Bonus : Comparaison de \( e^\pi \) et \( \pi^e \)

Le bonus est un classique qui demande d'utiliser les outils de l'analyse, et notamment l'étude d'une fonction auxiliaire \( k(x) = \frac{\ln x}{x} \), pour comparer deux nombres sans calculatrice. L'étude des variations de \( k \) permet de montrer que la fonction atteint son maximum en \( x=e \), menant à la conclusion.