Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, portant sur les chapitres fondamentaux de la trigonométrie et des généralités sur les suites numériques. Ce sujet, d'une durée de 2 heures et sans calculatrice, est un excellent moyen de tester et d'approfondir vos connaissances.

Ce document vous propose une analyse complète, exercice par exercice, pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à maîtriser les compétences clés du programme. Idéal pour vos révisions avant une évaluation ou pour un entraînement régulier.

Exercice 1 : Résolution d'équations trigonométriques

Cet exercice est une application directe du cours sur le cercle trigonométrique. Il s'agit de résoudre des équations trigonométriques simples sur des intervalles spécifiés, ce qui requiert une bonne visualisation des angles et de leurs cosinus ou sinus respectifs.

• Question 1 : Résoudre l'équation \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \) sur l'intervalle \( [-\pi; 0] \). Il faut trouver l'angle dans le demi-cercle inférieur correspondant à cette valeur de sinus.
• Question 2 : Résoudre \( \cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) sur \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \). Cela demande de localiser l'angle dans le deuxième quadrant du cercle trigonométrique.
• Question 3 : Trouver \(x\) tel que \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) et \( \cos(x) > 0 \) sur l'intervalle \( [0; 2\pi] \). Cette double condition impose de trouver la solution dans le quatrième quadrant.

Exercice 2 : Étude de fonctions trigonométriques

L'objectif de cet exercice est d'analyser les propriétés de deux fonctions trigonométriques, \( f(x) = \sin(3x) \) et \( g(x) = 2\cos(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{2}) \), notamment leur parité et leur périodicité.

• Question 1 : Étudier la parité de la fonction \(f\) en comparant \( f(-x) \) et \( f(x) \).
• Question 2 : Utiliser la parité de \(f\) pour compléter sa courbe représentative sur \( [-\pi; 0] \) à partir de son tracé sur \( [0; \pi] \).
• Question 3 : Conjecturer graphiquement la période de \(f\), puis la démontrer par le calcul en vérifiant que \( f(x+T) = f(x) \).
• Question 4 : Démontrer que la fonction \(g\) est périodique de période \( \frac{4\pi}{3} \).

Exercice 3 : Vrai ou Faux sur les formules trigonométriques

Cet exercice teste la maîtrise des identités trigonométriques fondamentales et des propriétés des angles associés. Chaque affirmation doit être justifiée.

• Questions sur les formules de duplication comme \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \).
• Utilisation de la relation fondamentale \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \).
• Analyse de l'égalité \( \sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \) et de sa validité.
• Simplification d'expressions avec des angles associés, comme \( \cos(2020\pi - x) \).
• Vérification d'une solution à une équation trigonométrique simple.

Exercice 4 : Suites numériques explicites et récurrentes

Cet exercice aborde deux types de suites : une définie par une forme explicite et une autre par une relation de récurrence.

• Partie A (Suite \( (V_n) \)) : À partir de la forme explicite \( V_n = 5n^2 - 2n + 3 \), il faut calculer les premiers termes et établir une relation de récurrence liant \( V_{n+1} \) à \( V_n \).
• Partie B (Suite \( (U_n) \)) : La suite est définie par \( U_0 = 10 \) et \( U_{n+1} = \frac{U_n + 1}{U_n - 1} \). Il est demandé de prouver que la suite est périodique de période 2 (c'est-à-dire \( U_{n+2} = U_n \)) et d'en déduire la valeur d'un terme de rang élevé, \( U_5 \).

Exercice 5 : Algorithmique et suites

Cet exercice fait le lien entre la programmation en Python et les suites numériques. Il s'agit d'analyser un algorithme et de comprendre la logique de la suite qu'il génère.

• Question 1 : Exécuter "à la main" un programme Python contenant une boucle `while` pour déterminer la valeur finale affichée. C'est un exercice de traçage d'algorithme.
• Question 2 : Identifier la relation de récurrence qui définit la suite \( (W_n) \) dont les termes sont calculés par l'algorithme.

Exercice 6 : Modélisation avec une fonction périodique

Ici, la trigonométrie est utilisée pour modéliser un phénomène réel : la pression sanguine. La fonction étudiée est \( P(t) = 100 - 20\cos(\frac{8\pi}{3}t) \).

• Question 1 : Vérifier par le calcul que la fonction est périodique en montrant que \( P(t+0,75) = P(t) \).
• Question 2 : Interpréter la période trouvée en termes de cycle (battement de cœur) et calculer le pouls de la personne en battements par minute (bpm).

Exercice 7 : Résolution d'équation trigonométrique complexe

Le dernier exercice propose de résoudre une équation trigonométrique qui se ramène à une équation du second degré : \( 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0 \).

• Étape 1 : Effectuer un changement de variable en posant \( X = \sin(x) \) pour transformer l'équation en un polynôme du second degré.
• Étape 2 : Résoudre l'équation du second degré \( 2X^2 + X - 1 = 0 \) pour trouver les valeurs possibles de \( X \).
• Étape 3 : Revenir à la variable initiale en résolvant \( \sin(x) = X_1 \) et \( \sin(x) = X_2 \) sur l'intervalle \( [0; 2\pi[ \) pour trouver toutes les solutions.