Livre
18. Changement de variable avec cosinus ou sinus
Conditions d'achèvement
Exercice
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Exercice
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Exercice
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Exercice
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Exercice
5
Pour aller plus loin : Contrôles sur ce chapitre 🎯
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Bonjour @LionelMazelin
Pour résoudre les équations trigonométriques il faut utiliser les formules du cours :
Si sin(x)=0 alors sin(x)=sin(0) donc
x = 0+2kπ ou x=π-0+2kπ avec k € N c'est-à-dire
x=2kπ ou x=π+2kπ avec k € N
Pour distinguer quand tu dois dire -π/2 ou 3π/2 il faut toujours faire attention à l'intervalle sur lequel on travaille.
Par exemple :
si on travaille sur ]-π;π[ on parlera de -π/2 ( car -π/2 € ]-π;π[ et 3π/2 n'appartient pas à ]-π;π[ ) et
si on travaille sur [0;2π[ on parlera de 3π/2
Pour t’entraîner sur les mesures des angles, je te conseille de reprendre les exercices des compétences 3, 4 et 5.
Courage 💪 à toi champion !
Pour résoudre les équations trigonométriques il faut utiliser les formules du cours :
Si sin(x)=0 alors sin(x)=sin(0) donc
x = 0+2kπ ou x=π-0+2kπ avec k € N c'est-à-dire
x=2kπ ou x=π+2kπ avec k € N
Pour distinguer quand tu dois dire -π/2 ou 3π/2 il faut toujours faire attention à l'intervalle sur lequel on travaille.
Par exemple :
si on travaille sur ]-π;π[ on parlera de -π/2 ( car -π/2 € ]-π;π[ et 3π/2 n'appartient pas à ]-π;π[ ) et
si on travaille sur [0;2π[ on parlera de 3π/2
Pour t’entraîner sur les mesures des angles, je te conseille de reprendre les exercices des compétences 3, 4 et 5.
Courage 💪 à toi champion !
Introduction
On commence avec une équation classique au contrôle, c'est-à-dire \(cos^2x - cosx = 0\). Si vous essayez de la résoudre directement, vous trouverez que c'est impossible. La seule solution qui fonctionne ici est d'utiliser la technique du changement de variable.Technique du changement de variable
On pose \(X = cosx\). Pourquoi faisons-nous cela ? Parce que si je pose \(X = cosx\), ce que j'ai ici, \(cos^2x - cosx\), devient en fait \(X^2 - X\). Donc, notre équation devient \(X^2 - X = 0\). Cette équation, je peux la résoudre de deux manières différentes : soit en calculant le déterminant et en trouvant les racines, soit en étant un peu plus malin et en disant que \(X^2\) est en fait \(X \times X\). Donc, j'ai une factorisation à faire ici, ce qui donne \(X(X - 1) = 0\). Une fois que j'ai écrit cela, je me retrouve avec quelque chose de la forme \(a \times b = 0\), avec \(a = X\) et \(b = X - 1\). Pour résoudre cela, je sais que soit \(a = 0\), soit \(b = 0\). Donc, je peux écrire \(X = 0\) ou \(X - 1 = 0\), autrement dit, \(X = 1\).Résolution de l'équation
Une fois que j'ai fait cela, en éliminant une variable et en résolvant l'équation, je défais le changement de variable. Donc, après avoir remplacé \(cosx\) par \(X\), je remplace maintenant \(X\) par \(cosx\), ce qui me donne \(cos^2x = 0\) ou \(cos^2x = 1\). Ces deux équations, je sais les résoudre. \(cos^2x = 0\) est la même chose que \(cos^2x = cos(\pi/2)\), ce qui signifie que \(x = \pm \pi/2 + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). \(cos^2x = 1\) est la même chose que \(2x = cos^{-1}(1/2)\), donc \(x = \pm \pi/3 + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). Donc, les deux solutions sont \(x = \pm \pi/2 + 2k\pi\) et \(x = \pm \pi/3 + 2k\pi\), qui sont les solutions de notre problème. Cette technique du changement de variable, vous l'avez déjà vue avec les polynômes du second degré. C'est cette technique qui vous permet de résoudre des problèmes de degré 4. En fait, vous allez la voir partout : avec des sommes, des différences, des fonctions trigonométriques, des fonctions logarithmiques, des fonctions exponentielles... C'est vraiment une astuce qui fonctionne tout le temps. Alors, entraînez-vous !Nouvelle recrue
Invité
0 pts
J'ai deux questions suite aux exercices :
Pour sin(x)=0, je trouve trois solutions 0+2kπ, π+2kπ et -π+2kπ, est-ce correct ?
J'ai du mal à distinguer quand je dois dire -5π/6 ou 7π/6 , ou encore -π/2 ou 3π/2?
Merci de votre retour