5. Montrer qu'une fonction a une certaine période

Introduction

Salut les amis, on est parti pour voir en pratique comment montrer qu'une fonction a une certaine période. En l'occurrence, nous allons démontrer qu'une fonction périodique admet une période \(\pi\). On se fait ça tout de suite.

Démonstration de la périodicité

Pour montrer qu'une fonction est périodique, on va calculer \(f(x + \pi)\). Donc on va commencer par écrire ça : \(f(2x + \pi)\). Ensuite, on va remplacer dans cette expression \(x\) par \(x + \pi\). On va continuer, on va continuer, on va continuer et à la fin, on espère avoir \(f(x)\). Si on arrive à \(f(x)\), ça voudra dire que la fonction est effectivement périodique. Donc, \(f(x + \pi)\) c'est la même chose que ça, sauf que je remplace \(x\) par \(x + \pi\). Donc ça me fait \(\sin(2x + 2\pi) - 3\cos(8x + 2\pi)\). Je développe donc : \(\sin(2x + 2\pi) - 3\cos(8x + 2\pi)\).

Simplification de l'expression

Une première simplification parmi les formules que vous connaissez de la trigonométrie, et qui s'affiche ici, est peut-être la plus importante : \(\sin(x + 2\pi)\) vaut tout simplement \(\sin(x)\). Pourquoi ? Parce que quand vous êtes sur votre cercle trigonométrique et que vous prenez un angle, par exemple \(x\), et que vous lui ajoutez \(2\pi\) (c'est-à-dire que vous faites un tour complet), on arrive exactement au même endroit donc le sinus ne change pas et le cosinus ne change pas non plus. Donc, \(\sin(2x + 2\pi)\) c'est la même chose que \(\sin(2x)\). On continue également : \(-3\cos(8x + 2\pi)\) sauf que \(8\pi\) c'est comme non pas un tour mais deux tours. Du coup, quand je fais \(-3\cos(8x + 4\pi)\), je fais \(-3\cos(x + 4\pi)\) donc c'est juste \(-3\cos(x)\). Donc, ça me fait juste \(\sin(2x) - 3\cos(8x)\) parce que le \(+ 4\pi\) a tout simplement disparu. Apprenez bien les formules qu'on vous a mises là, elles vont servir pour les exercices qu'on vous a fait en dessous. Il y en a qui sont simples comme ça, il y en a qui sont beaucoup plus compliquées. À vous de jouer, vous êtes des champions !