Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde est entièrement dédié au chapitre des probabilités. D'une durée de 30 minutes, il évalue la compréhension et l'application des concepts fondamentaux à travers deux exercices complets. Ce document, avec son corrigé détaillé, est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser avant une évaluation. Les thèmes abordés incluent la modélisation à l'aide d'arbres de probabilités, les tirages sans remise, l'utilisation des tableaux à double entrée (ou tableaux de contingence), ainsi que le calcul de probabilités d'unions, d'intersections, d'événements contraires et de probabilités conditionnelles.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Probabilités Seconde, exercice probabilités, arbre pondéré, tableau d'effectifs, probabilités conditionnelles, intersection et union d'événements.

Exercice 1 : Tirages successifs sans remise

Cet exercice met en scène une situation classique de probabilités : le tirage successif et sans remise. Une personne possède dans sa poche 5 pièces de monnaie : une de 0,50€, deux de 1€ et deux de 2€. Elle tire deux pièces l'une après l'autre.

Les questions testent plusieurs compétences essentielles :

• Modélisation d'une expérience aléatoire : La première question demande de compléter un arbre de probabilités. Il faut ici faire attention au fait que le tirage est sans remise, ce qui signifie que les probabilités sur les branches du second niveau dépendent du résultat du premier tirage. Par exemple, si la première pièce tirée est 1€, il ne reste plus qu'une pièce de 1€ parmi les 4 pièces restantes.
• Univers et issues : Il est demandé d'identifier le nombre d'issues possibles et de réfléchir à leur équiprobabilité. C'est une question clé pour s'assurer que les bases de la théorie des probabilités sont bien comprises. Dans ce cas, les issues (paires de valeurs) ne sont pas équiprobables.
• Calcul de probabilités d'événements : La dernière partie de l'exercice consiste à calculer la probabilité de quatre événements distincts, notés A, B, C et D.
  • Événement A : « Les deux pièces sont identiques ». Il faut calculer \( P( ext{tirer 1€ et 1€}) + P( ext{tirer 2€ et 2€}) \).
  • Événement B : « Les deux pièces sont différentes ». Cet événement est l'événement contraire de A, donc sa probabilité est \( P(B) = 1 - P(A) \).
  • Événement C : « La somme totale est égale à 1,50 € ». Cela correspond à l'issue (0.50€, 1€) ou (1€, 0.50€).
  • Événement D : « La somme totale est strictement supérieure à 2,50 € ». Cela correspond aux issues dont la somme est 3€ (1€ et 2€) ou 4€ (2€ et 2€).

Exercice 2 : Tableau à double entrée et probabilités conditionnelles

Le second exercice est basé sur l'analyse de données présentées dans un contexte concret : les adhérents d'un club de sport. Les 900 adhérents sont répartis selon deux critères : leur catégorie d'âge (Jeunes/Adultes) et le type de sport pratiqué (Loisir/Compétition).

Cet exercice permet d'évaluer la capacité à organiser et interpréter des données pour en déduire des probabilités.

• Organisation des données : La première question demande de synthétiser les informations de l'énoncé en complétant un tableau d'effectifs (tableau à double entrée). C'est une compétence fondamentale pour structurer l'information et faciliter les calculs ultérieurs.
• Calcul de probabilités simples et composées : À partir du tableau, l'élève doit calculer des probabilités d'événements simples comme \( P(A) \) (l'adhérent est un adulte) et \( P(C) \) (l'adhérent a choisi la compétition). Ensuite, l'exercice aborde les opérations sur les événements :
  • Description et calcul de la probabilité de l'événement contraire \(\bar{A}\).
  • Description et calcul de la probabilité de l'intersection \(A \cap C\) (« l'adhérent est un adulte ET a choisi la compétition »).
  • Description et calcul de la probabilité de l'union \(A \cup C\) (« l'adhérent est un adulte OU a choisi la compétition »), en utilisant la formule \( P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C) \).
• Introduction aux probabilités conditionnelles : Les deux dernières questions introduisent la notion de probabilité conditionnelle.
  • Calculer la probabilité qu'un adhérent ait choisi la compétition sachant qu'il est adulte. Il s'agit de calculer \( p_1 = P_A(C) \).
  • Calculer la probabilité qu'un adhérent soit un adulte sachant qu'il a choisi la compétition. Il s'agit de calculer \( p_2 = P_C(A) \).
  Ces questions testent la capacité à changer l'univers de référence pour le calcul de probabilité.