Contrôle Corrigé de Mathématiques sur les Fonctions Affines - Niveau Seconde
Découvrez notre sujet de maths complet sur le chapitre des fonctions affines, spécialement conçu pour les élèves de Seconde. Ce contrôle corrigé, d'une durée de 15 minutes, est un excellent outil pour réviser et maîtriser les compétences essentielles de ce chapitre fondamental du programme. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à vous préparer efficacement à votre prochaine évaluation. Ce document est une ressource pédagogique idéale pour l'entraînement personnel ou pour les enseignants cherchant des supports de cours.
Exercice 1 : Identifier le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
La première question de ce sujet de maths porte sur l'identification des éléments clés d'une fonction affine donnée par son expression algébrique. On considère la fonction \( k \) définie sur \( \mathbb{R} \) par l'expression \( k(x) = \frac{5}{4} - \frac{2}{3}x \). Il est demandé de donner son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine. Pour résoudre cet exercice, il faut se rappeler qu'une fonction affine est de la forme \( f(x) = ax + b \), où :
- \( a \) est le coefficient directeur (la pente de la droite).
- \( b \) est l'ordonnée à l'origine (l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées).
En réorganisant l'expression de \( k(x) \), on obtient \( k(x) = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{4} \). Par identification, on trouve facilement le coefficient directeur \( a = -\frac{2}{3} \) et l'ordonnée à l'origine \( b = \frac{5}{4} \). Cet exercice de base valide la compréhension de la structure d'une fonction affine.
Exercice 2 : Détermination d'expressions algébriques par lecture graphique
Cet exercice évalue la capacité à passer de la représentation graphique d'une fonction affine à son expression algébrique. Le graphique présente trois droites \( C_f, C_g, C_h \), représentant respectivement les fonctions \( f, g \) et \( h \). Pour chacune, il faut déterminer l'expression \( f(x) = ax + b \).
- Pour l'ordonnée à l'origine \( b \) : il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
- Pour le coefficient directeur \( a \) : on choisit deux points distincts sur la droite, \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \), et on calcule la pente à l'aide de la formule \( a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \). Graphiquement, cela correspond au déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal pour aller d'un point à un autre.
Cet exercice est un classique des contrôles sur les fonctions affines et renforce les liens entre l'approche graphique et l'approche algébrique.
Exercice 3 : Calcul d'image par une fonction affine
La troisième question teste le calcul d'une image. On donne la fonction \( t(x) = 2x + 3 \) et on demande de compléter les coordonnées du point \( A(-\frac{5}{2} ; \dots) \) appartenant à sa représentation graphique. Pour trouver l'ordonnée manquante, il faut calculer l'image de l'abscisse \( x = -\frac{5}{2} \) par la fonction \( t \). Le calcul est le suivant :
\( t(-\frac{5}{2}) = 2 \times (-\frac{5}{2}) + 3 = -5 + 3 = -2 \).
Le point a donc pour coordonnées \( A(-\frac{5}{2} ; -2) \). Cet exercice simple vérifie la capacité à appliquer une formule et à effectuer des calculs avec des fractions.
Exercice 4 : Calcul d'antécédent par une fonction affine
Symétrique de l'exercice précédent, cette question porte sur le calcul d'un antécédent. La fonction est \( v(x) = 5x - 4 \), et on cherche l'abscisse du point \( B(\dots ; 3) \). Il s'agit de trouver la valeur de \( x \) telle que \( v(x) = 3 \). Cela revient à résoudre l'équation du premier degré :
\( 5x - 4 = 3 \)
\( 5x = 7 \)
\( x = \frac{7}{5} \)
L'abscisse manquante est donc \( \frac{7}{5} \), et le point est \( B(\frac{7}{5} ; 3) \). La maîtrise de la résolution d'équations simples est ici essentielle.
Exercice 5 : Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points
Le dernier exercice de cette évaluation est un problème complet qui synthétise plusieurs compétences. On sait qu'une fonction \( f \) est affine et que \( f(-3) = -2 \) et \( f(1) = 8 \). L'objectif est de retrouver son expression algébrique \( f(x) = ax + b \). La méthode est la suivante :
- Calculer le coefficient directeur \( a \) : On utilise les coordonnées des deux points connus, \( A(-3, -2) \) et \( B(1, 8) \). La formule de la pente donne :
\( a = \frac{f(1) - f(-3)}{1 - (-3)} = \frac{8 - (-2)}{1 + 3} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \). - Calculer l'ordonnée à l'origine \( b \) : Maintenant que l'on connaît \( a \), on sait que \( f(x) = \frac{5}{2}x + b \). On utilise l'un des deux points pour trouver \( b \). Par exemple, avec le point \( B(1, 8) \), on a \( f(1) = 8 \), donc :
\( \frac{5}{2} \times 1 + b = 8 \)
\( b = 8 - \frac{5}{2} = \frac{16}{2} - \frac{5}{2} = \frac{11}{2} \).
L'expression finale de la fonction est donc \( f(x) = \frac{5}{2}x + \frac{11}{2} \). Cet exercice est un excellent moyen de vérifier la maîtrise complète des techniques liées aux fonctions affines.