2. Résoudre une équation avec valeur absolue

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour comprendre en 5 minutes les équations avec la fameuse valeur absolue. En seconde, les équations avec valeur absolue se regroupent en deux types que je vais vous présenter. La première, c'est quand vous avez la valeur absolue d'un seul côté et la deuxième, c'est quand vous avez la valeur absolue des deux côtés. On va voir comment résoudre ce premier type et ensuite le second. Notez ce qui s'affiche à gauche sur la fiche, car c'est la méthode de résolution pour ces équations.

Premier type d'équation avec valeur absolue

On commence avec l'équation \(|3x + 2| = -7\). On a bien quelque chose de la forme \(|a| = b\), où \(a\) est un objet que l'on peut appeler \(3x + 2\) et \(b\) est un autre objet. Dans ce cas, \(b\) vaut \(-7\), donc il est négatif. Si \(b\) est négatif, il n'y a pas de solution, c'est-à-dire que l'ensemble des solutions est l'ensemble vide. Pourquoi ? Parce qu'on est en train de dire quelles sont les valeurs de \(x\) telles que la partie positive de ce nombre (la valeur absolue) soit égale à \(-7\). On ne peut pas avoir un nombre en valeur absolue, qui est forcément positive, égal à un nombre négatif.

Deuxième type d'équation avec valeur absolue

Continuons avec l'équation \(|3x + 2| = 3\). Ici, on est face à la première formule car on a \(|a| = b\). Je regarde si \(b\) est négatif ou positif. Ici, \(b\) est positif. Donc, on a juste à résoudre soit \(a = b\), donc soit \(3x + 2 = 3\), soit \(a = -b\), donc soit \(3x + 2 = -3\). Je me retrouve à résoudre deux équations du premier degré, action extrêmement simple. Je trouve \(x = 1/3\) ou \(x = -5/3\). Je peux aussi écrire que la solution est l'ensemble \(\{1/3, -5/3\}\), ce qui est exactement la même réponse.

Troisième type d'équation avec valeur absolue

Continuons avec l'équation \(|3x + 2| = |x - 1|\). Ici, on a la valeur absolue de quelque chose égale à la valeur absolue de quelque chose d'autre, donc c'est le deuxième cas. Pour ce cas, c'est encore plus simple. Vous n'avez même pas besoin de vous demander si \(b\) est positif ou négatif. Vous écrirez tout de suite soit \(a = b\), donc soit \(3x + 2 = x - 1\), soit \(a = -b\), donc soit \(3x + 2 = -(x - 1)\). En résolvant ces deux équations, je trouve que les solutions sont \(-3/2\) et \(-1/4\). Je peux aussi écrire que les solutions sont l'ensemble \(\{-3/2, -1/4\}\). Entraînez-vous, cela tombe souvent en seconde. Les professeurs adorent les équations de valeur absolue.