Introduction
Allez les amis, on est parti pour dresser le tableau de signes d'une fonction affine sur \(\mathbb{R}\) en six minutes. Il y a deux options pour dresser des tableaux de signes : soit vous apprenez par cœur un certain nombre de choses, soit on va essayer de comprendre comment elles fonctionnent.
Comprendre le tableau de signes d'une fonction affine
Pour dresser le tableau de signes d'une fonction affine, il faut se demander quand est-ce que cette fonction est positive et quand est-ce que cette fonction est négative. Par exemple, si je prends une fonction affine, à partir d'un certain point, elle va être positive et à partir d'un autre point, elle va être négative. Donc la première chose à se demander c'est quand est-ce qu'elle va passer de négatif à positif ou de positif à négatif. Si elle est décroissante, elle passe de positif à négatif quand cette fonction vaut zéro. Donc la première chose à faire pour trouver quand est-ce qu'il y a un changement de signe dans votre fonction, c'est de résoudre \(f(x) = 0\), chercher les antécédents de 0. Pour résoudre \(f(x) = 0\), on va faire par exemple \(4x + 2 = 0\). Je passe mon 4x de l'autre côté, j'obtiens \(-4x = -2\), je divise par -4, j'obtiens \(x = \frac{-2}{-4}\), je simplifie pour obtenir \(x = \frac{1}{2}\). Donc la valeur de x pour laquelle cette fonction change de signe est \(\frac{1}{2}\) et quand \(x = \frac{1}{2}\), \(f(x) = 0\).
Compléter le tableau de signes
Maintenant, la question c'est : est-ce qu'elle est négative avant et positive après, ou est-ce qu'elle est positive avant et négative après ? Certains vont vous faire apprendre des règles par cœur, mais réfléchissez et regardez les fonctions. Si la fonction est croissante, avant de valoir 0 elle est négative et après elle est positive. Si la fonction est décroissante, avant de valoir 0 elle est positive et après elle est négative. Donc ce qui va vous permettre de savoir si c'est plus ou moins, c'est si ma fonction est croissante ou décroissante. Et comment est-ce qu'on sait si une fonction affine est croissante ou décroissante ? Eh bien, on regarde le signe du coefficient directeur, celui qui est devant x. Si ce coefficient est négatif, ça veut dire que la fonction décroît. On est dans ce cas là , du coup avant de valoir zéro, elle est positive et ensuite elle est négative. Je complète en mettant les bornes, vu que je vais étudier sur \(\mathbb{R}\), ça veut dire que x peut prendre toutes les valeurs réelles, donc il va de \(-\infty\) jusqu'à \(+\infty\). Et vous avez un magnifique tableau de signes pour une fonction affine.
Conclusion
Vous avez compris ce qui se passe, vous n'avez pas juste appris par cœur. Après, si vous avez envie d'apprendre par cœur, ça me va très bien. Moi, je préfère que vous compreniez. Première étape, je regarde quand est-ce que ça vaut zéro. Une fois que j'ai trouvé la valeur de x pour laquelle ça vaut zéro, je mets cette valeur là , je dis que ma fonction vaut 0. Et ensuite, je regarde si elle est croissante ou décroissante. Si elle est croissante, elle vaut \(-, +\), si elle est décroissante, elle vaut \(+, -\). Allez, vous avez tout ce qu'il vous faut pour faire les exercices qu'on a mis en dessous. C'est vraiment la base des compétences qui vont suivre, donc il faut que vous sachiez le faire parfaitement. Vous êtes des champions !