Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première Technologique est centré sur les chapitres des suites numériques, plus spécifiquement les suites arithmétiques et géométriques. D'une durée d'une heure, il évalue la capacité des élèves à modéliser des situations concrètes, à analyser les propriétés des suites et à utiliser les outils numériques à bon escient. Ce document constitue une excellente ressource pour la préparation aux évaluations, proposant un problème complet et des questions de type vrai ou faux pour tester la compréhension profonde des concepts.

L'épreuve est divisée en deux exercices : un problème de modélisation sur la croissance d'une culture bactérienne et un exercice de type "vrai ou faux" portant sur diverses propriétés des suites.

Exercice 1 : Une culture bactérienne en fermenteur

Cet exercice, noté sur 12 points, est un problème complet qui guide l'élève de l'observation de données expérimentales à l'exploitation de modèles mathématiques. Le contexte est celui d'une culture de bactéries lactiques dans une fromagerie.

• Partie A : Des mesures au modèle
  

  La première partie se base sur un tableau de mesures de la concentration bactérienne au fil du temps.

  1. La première question demande de calculer les quotients des concentrations successives. L'objectif est de vérifier si le rapport \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) est approximativement constant.
  2. En se basant sur la quasi-constance de ces rapports, il est demandé d'expliquer pourquoi une modélisation par une suite géométrique est pertinente. Il faut alors identifier la raison \( q \) de la suite et la traduire en pourcentage d'augmentation, compétence clé liant les suites aux évolutions successives.
• Partie B : Exploiter le modèle
  

  Un modèle est alors posé : la concentration \( u_n \) est une suite géométrique de premier terme \( u_0 = 2 \) et de relation de récurrence \( u_{n+1} = 1,3 u_n \).

  1. L'élève doit trouver la forme explicite de la suite, c'est-à-dire l'expression de \( u_n \) en fonction de \( n \), qui est \( u_n = 2 \times (1,3)^n \).
  2. Il s'agit ensuite d'appliquer cette formule pour calculer une valeur lointaine, \( u_8 \), et d'interpréter le résultat dans le contexte du problème.
  3. L'étude du sens de variation de la suite est requise. Comme le premier terme est positif et la raison \( q = 1,3 > 1 \), la suite est croissante. Une justification rigoureuse est attendue.
  4. La dernière question de cette partie est pratique : déterminer au bout de combien de temps la concentration dépassera un seuil de 500 millions/mL. L'énoncé oriente vers l'utilisation de la table de valeurs de la calculatrice, testant la capacité à résoudre une inéquation \( u_n > 500 \) de manière non algébrique.
• Partie C : Un protocole avec prélèvements
  

  Un nouveau modèle est introduit pour ralentir la croissance. La suite \( (v_n) \) est définie par \( v_0 = 2 \) et \( v_{n+1} = 1,3 v_n - 0,5 \).

  1. Le calcul des premiers termes \( v_1, v_2, v_3 \) permet de se familiariser avec cette nouvelle suite.
  2. La nature de cette suite est questionnée : est-elle arithmétique ? géométrique ? En calculant \( v_1 - v_0 \) et \( v_2 - v_1 \), puis \( v_1/v_0 \) et \( v_2/v_1 \), on montre qu'elle n'est ni l'un ni l'autre. Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique.
  3. Enfin, le calcul d'un terme plus lointain (\( v_6 \)) permet de comparer l'efficacité des deux protocoles, mobilisant des compétences d'analyse et d'argumentation.

Exercice 2 : Le cahier de laboratoire (vrai ou faux)

Ce second exercice, sur 8 points, est conçu pour évaluer la compréhension fine des définitions et propriétés du cours à travers quatre affirmations à justifier.

• Affirmation 1 : Elle teste la connaissance du sens de variation d'une suite géométrique. Une suite de raison \( q=0,9 \) et de premier terme positif est-elle croissante ? La réponse est non, car \( 0 < q < 1 \).
• Affirmation 2 : Il s'agit d'une question de lecture graphique. À partir de la représentation des premiers termes d'une suite, l'élève doit conjecturer si elle semble géométrique, ce qui est généralement le cas si les points dessinent une courbe de type exponentiel.
• Affirmation 3 : On donne une suite définie par sa forme explicite \( a_n = n^2 + 2 \). Il faut prouver qu'elle n'est ni arithmétique, ni géométrique en montrant que la différence et le quotient de deux termes consécutifs ne sont pas constants.
• Affirmation 4 : C'est une application directe des suites géométriques à un problème de taux d'évolution. Une augmentation annuelle de 3% correspond à une suite géométrique de raison 1,03. La question est de savoir si la valeur aura doublé en moins de 25 ans, ce qui revient à résoudre l'inéquation \( (1,03)^n \geq 2 \).