Contrôle corrigé sur la Loi Binomiale - Terminale Technologique

Ce sujet de mathématiques pour la Terminale Technologique est entièrement dédié au chapitre sur la loi binomiale. Il est conçu pour évaluer la compréhension et l'application des concepts clés à travers quatre exercices variés, incluant des calculs directs, l'analyse de documents, la correction d'erreurs et l'interprétation de code Python. Ce contrôle corrigé est une excellente ressource pour réviser et se préparer à l'épreuve du baccalauréat.

Exercice 1 : Trois calculs avec la loi B(5 ; 0,2)

Cet exercice est une mise en application directe des formules de la loi binomiale. On considère une variable aléatoire \( X \) qui suit une loi binomiale \( \mathcal{B}(5; 0,2) \).

• Question 1 : Il est demandé de construire la ligne \( n=5 \) du triangle de Pascal à partir de la ligne \( n=4 \) fournie. Cela permet de déterminer les coefficients binomiaux \( \binom{5}{k} \) nécessaires pour les calculs de probabilités. La ligne est : 1 5 10 10 5 1.
• Question 2 : Cette question demande le calcul de probabilités ponctuelles. Il faut utiliser la formule de la loi binomiale : \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \). On calcule donc \( P(X=2) \) et \( P(X=4) \) en utilisant les coefficients de la question précédente :
• \( P(X=2) = \binom{5}{2} \times 0,2^2 \times (1-0,2)^{5-2} = 10 \times 0,04 \times 0,8^3 = 0,2048 \)
• \( P(X=4) = \binom{5}{4} \times 0,2^4 \times (1-0,2)^{5-4} = 5 \times 0,0016 \times 0,8^1 = 0,0064 \)

Exercice 2 : Un spectacle de danse en tournée

Cet exercice, plus complexe, s'appuie sur deux documents pour modéliser une situation concrète à l'aide d'une loi binomiale. Il s'agit d'analyser le nombre de soirées complètes sur une tournée de 8 dates.

• Question 1 : Il faut justifier que la variable aléatoire \( X \) (nombre de soirées complètes) suit une loi binomiale. Pour cela, on identifie la répétition d'une épreuve de Bernoulli (la soirée est complète ou non), de manière identique et indépendante. Les paramètres sont \( n=8 \) (nombre de répétitions) et \( p=0,7 \) (probabilité du succès). Donc, \( X \) suit la loi \( \mathcal{B}(8; 0,7) \).
• Question 2 : À partir de la ligne \( n=7 \) du triangle de Pascal, on doit déduire les coefficients binomiaux \( \binom{8}{6} \) et \( \binom{8}{7} \). On utilise la relation de Pascal : \( \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \).
• Question 3 : Calcul de \( P(X=6) \), \( P(X=7) \) et \( P(X=8) \), puis comparaison des résultats avec le diagramme en bâtons fourni (document 2). Cela permet de vérifier la cohérence entre le modèle théorique et la représentation graphique.
• Question 4 : Il s'agit de calculer une probabilité cumulée, \( P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \), et de l'utiliser pour valider ou invalider une annonce commerciale.
• Question 5 : Cette question porte sur l'espérance mathématique. On calcule \( E(X) = n \times p = 8 \times 0,7 = 5,6 \). On interprète cette valeur comme le nombre moyen de soirées complètes sur un grand nombre de tournées. Il faut ensuite expliquer la différence entre l'espérance et la valeur la plus probable (le mode), qui est ici 6 d'après le graphique.

Exercice 3 : Le test de déchiffrage (copie de Sacha)

Cet exercice de type "vrai ou faux" demande d'analyser les réponses d'un élève, de les valider ou de les corriger en justifiant. La situation concerne une loi binomiale \( \mathcal{B}(4; 0,6) \).

• Question a : La loi est correcte.
• Question b : Le nombre de chemins pour l'événement \( \{Y=3\} \) est \( \binom{4}{3} = 4 \). La réponse de Sacha (3) est incorrecte.
• Question c : Le calcul de \( P(Y=3) \) est erroné car Sacha a oublié le coefficient binomial. Le bon calcul est \( P(Y=3) = \binom{4}{3} \times 0,6^3 \times 0,4^1 = 0,3456 \).
• Question d : Le calcul de \( P(Y \ge 1) \) est également faux. Il est plus simple d'utiliser l'événement contraire : \( P(Y \ge 1) = 1 - P(Y=0) = 1 - 0,4^4 = 0,9744 \).
• Question e : Le calcul de l'espérance \( E(Y) = 4 \times 0,6 = 2,4 \) est correct, mais l'interprétation mérite d'être précisée : il s'agit d'une moyenne et non du résultat d'un seul examen.

Exercice 4 : Les rappels en fin de concert (Python)

Le dernier exercice évalue la capacité à lire et interpréter un algorithme Python qui calcule des espérances et des probabilités.

• Question 1 & 2 : On analyse d'abord une fonction `esperance` pour une variable aléatoire discrète quelconque. On doit expliquer le lien entre le code et la formule \( E(R) = \sum r_i P(R=r_i) \) et calculer l'espérance à la main pour l'interpréter.
• Question 3 : La suite du programme s'intéresse à une loi binomiale \( \mathcal{B}(4; 0,3) \). Il faut :
• a. Identifier le contenu de la liste `valeurs` et justifier une probabilité affichée (ici \( P(X=0) = 0,7^4 = 0,2401 \)).
• b. Reconnaître que la troisième valeur affichée (1.2) correspond à l'espérance \( E(X) = n \times p = 4 \times 0,3 \).
• c. Modifier les paramètres du script pour calculer l'espérance d'une loi \( \mathcal{B}(10; 0,3) \), ce qui demande de changer `n`, `p` et la liste des coefficients binomiaux (`coeffs`).