20. Linéariser des expressions trigonométriques grâce à la formule d'Euler

Introduction

Allez les amis, on est parti pour une petite leçon qui consiste à linéariser des équations avec des cosinus et des sinus du genre \(\cos(x) \times \sin^2(x)\). Qu'est-ce que ça veut dire linéariser ? Ça veut dire qu'on ne veut plus avoir de puissance, on veut en fait rentrer les puissances à l'intérieur des cosinus et des sinus, donc avoir des \(\cos(2x)\), des \(\sin(3x)\), et ainsi de suite. C'est vraiment un travail de précision, c'est un travail d'orfèvre et on va faire ça tout de suite. Vous allez adorer.

Formules de Euler

Pour faire ça, il vous faut évidemment la méga fiche Galilée et notamment les formules de Euler. Les formules de Euler sont géniales. Elles nous permettent de transformer un \(\cos(x)\) en exponentiel et un \(\sin(x)\) en exponentiel. En disant \(\cos(x)\) ou \(\cos(\theta)\) ou \(\cos(\text{ce que vous voulez})\) c'est \(e^{ix} + e^{-ix} \over 2\) et \(\sin(x)\) c'est \(e^{ix} - e^{-ix} \over 2\).

Exemple de linéarisation

Prenons notre point de départ qui est \(\cos(x) \times \sin^2(x)\). Je vais utiliser la formule de Euler pour \(\cos(x)\) qui me dit que \(\cos(\text{quelque chose})\) c'est \(e^{ix} + e^{-ix} \over 2\) et elle me dit aussi que \(\sin(x)\) c'est \(e^{ix} - e^{-ix} \over 2\). Vu que j'ai un carré ici, j'oublie pas de mettre mon carré là. Après plusieurs étapes de calculs, on obtient finalement \(-\frac{1}{4}(\cos(3x) - \cos(x))\). Vous regardez à quel point c'est joli, on n'a plus aucune puissance et on a des coefficients à l'intérieur des cosinus.

Conclusion

Et c'est ainsi que nous avons linéarisé des équations. Il y a plein de petits exercices de linéarisation comme ça pour vous entraîner. Soyez des machines, ne vous plantez pas sur les calculs. À vous de jouer, vous êtes tout simplement des champions.