11. Linéariser cos(2a) avec la notation complexe exponentielle

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir des compétences qui commencent à être un petit peu techniques. Comment est-ce que je fais pour linéariser \(\cos(2A)\), c'est-à-dire exprimer \(\cos(2A)\) en fonction de \(\cos(A)\) et de \(\sin(A)\) ? Vous allez voir, c'est très simple, on se fait ça tout de suite.

Comprendre la linéarisation

Pour régler ce genre de problème, il faut que vous compreniez une chose. \(\cos(A)\) finalement, c'est la partie réelle d'un nombre imaginaire qui serait \(e^{i2A}\). En effet, si je prends \(e^{i2A}\) et que je le passe en forme trigonométrique, ça me fait \(\cos(2A) + i\sin(2A)\). Donc on est bien d'accord que \(\cos(2A)\) que je retrouve là, c'est la partie réelle, c'est-à-dire ce qui n'est pas devant \(i\) dans le nombre complexe \(e^{i\theta}\). Donc c'est la partie réelle de \(e^{i2A}\). Or, il y a un truc qui est marrant, c'est que \(e^{i2A}\) c'est exactement la même chose que \((e^{iA})^2\), parce que vous savez que quand j'ai un exponentiel au carré, j'ai le droit de rentrer l'exponentiel, le carré, à l'intérieur de l'exponentiel et qui se retrouve donc ici. Et du coup, c'est intéressant pour nous parce que ce qui nous intéresse, c'est-à-dire la partie réelle de \(e^{i2A}\), c'est aussi la partie réelle de \((e^{iA})^2\).

Développement et conclusion

Maintenant, développons rapidement \((e^{iA})^2\). \((e^{iA})^2\) ça me fait \((\cos(A) + i\sin(A))^2\) et en développant avec mon identité remarquable \(A + B)^2\), ça me fait \(\cos^2(A) + 2i\cos(A)\sin(A) - \sin^2(A)\). Tout ça, c'est \(e^{2A}\). Or, moi, j'ai montré que la partie réelle de \(e^{2A}\), donc le \(\cos(2A)\) qui m'intéresse, était la même que la partie réelle de \((e^{iA})^2\). Autrement dit, ce nombre là, c'est-à-dire \(\cos(2A)\), c'est la même chose que la partie réelle de cet objet là. Oui, mais la partie réelle de cet objet là, si je la trie, ça me fait \(\cos^2(A) - \sin^2(A)\). Je répète, vu que la partie réelle de \(e^{2A}\), c'est-à-dire \(\cos(2A)\), c'est la même chose que la partie réelle de \((e^{iA})^2\), vu que \(e^{2A} = (e^{iA})^2\), alors mon \(\cos(2A)\) c'est la même chose que ça. Et je peux en conclure finalement que \(\cos(2A)\) c'est la même chose que \(\cos^2(A) - \sin^2(A)\). Et hop, je viens de linéariser, c'est-à-dire d'exprimer \(\cos(2A)\) en fonction de \(\cos(A)\) et de \(\sin(A)\) en utilisant la notation exponentielle. On vous a mis plein d'exercices en dessous, ça tombe au contrôle tranquille. Vous pouvez vous amuser à linéariser par exemple \(\sin(2A)\). Vous pouvez vous en servir pour calculer des angles particuliers comme dans les exercices qu'on vous a mis en dessous. Bref, ça c'est quelque chose qui est vraiment pratique. À vous de jouer, vous êtes des champions.