1. Les trois formes complexes

Introduction

Allez les amis, vous venez de finir les nombres complexes d'un point de vue algébrique, c'est-à-dire que vous savez qu'un nombre complexe s'écrit \(a + iB\). Je vais vous introduire la deuxième partie du cours qui est le point de vue géométrique, qui est vraiment passionnante et qui est celle dont on va essentiellement se servir en physique. On se fait ça tout de suite.

Représentation des nombres complexes

Si vous avez suivi ce qui se passait jusqu'à présent, vous avez compris qu'un nombre complexe ça s'écrit \(a + iB\) avec une partie réelle qui est \(a\), une partie imaginaire qui est \(B\) et que grosso modo on retrouve les mêmes règles de calcul qu'avec les nombres : la transitivité, le développement, les identités remarquables, on retrouve tout ça. La seule différence était que notre \(i\) avait la particularité que quand je le mettais au carré, ça faisait moins un. Maintenant, faisons un petit exercice d'esprit. Finalement, si tous mes nombres complexes sont pourvus d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, pourquoi est-ce qu'on ne pourrait pas s'amuser à dire : en fait, la partie réelle je vais la représenter sur cet axe là, donc ici j'ai ma partie réelle et ici j'ai ma partie imaginaire. Si on fait ça, mon \(a + iB\), \(A\) et \(B\) deviennent les coordonnées d'un point. \(A\) je vais le lire ici, \(B\) je vais le lire là et à l'intersection de cette droite-là et de cette droite-là, je vais avoir mon \(a + iB\).

Notations des nombres complexes

On va voir dans ce cours que \(A + iB\) ça s'appelle l'affixe d'un point, c'est-à-dire le nombre complexe qu'on va associer à un point. Regardez ce qui est marrant, jusqu'à présent pour définir un nombre complexe, vous avez besoin de \(A\) et de \(B\), sa partie réelle et sa partie imaginaire. Donc avec deux nombres, on arrivait à définir entièrement et uniquement un nombre complexe. Dans ce plan qu'on appelle le plan complexe, je pourrais très bien imaginer que pour arriver à ce point là, plutôt que de dire j'avance de \(a\) puis je monte de \(B\), je pourrais dire : bon, je suis à une certaine distance de l'origine, cette distance je vais la noter \(r\) (la norme, le module du nombre complexe) et en plus de ça, j'ai un certain angle \(\theta\) qui va être l'argument de mon nombre complexe. Pourquoi est-ce que le rayon ça ne suffit pas ? Parce qu'en fait, des points qui sont à une certaine distance, il y en a plusieurs. Donc j'ai vraiment besoin de dire : je suis à une certaine distance du centre et je suis à un certain angle. Ces deux nombres \(R\) et \(\theta\) nous permettent de définir le nombre complexe exactement de la même manière que \(A\) et \(B\), les parties réelle et imaginaire, nous le permettaient. Donc on va apprendre à passer de cette notation là, qui est la notation algébrique, à une notation qui est \(r \cos(\theta) + i \sin(\theta)\), qui est la notation trigonométrique, et ensuite on va voir qu'on peut raccourcir en \(r e^{i\theta}\), qui est la notation exponentielle. Ces trois notations là sont décisives et c'est celles que vous allez apprendre à maîtriser dans ce cours. Notez qu'il y a un sens qui est très facile à faire, c'est passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique. En effet, la forme trigonométrique, la deuxième forme avec les cosinus et les sinus, vous allez voir qu'en fait c'est déjà quasiment une forme algébrique. Par contre, passer de cette forme là à la forme exponentielle, c'est beaucoup plus compliqué. Mais tranquille, on va se faire ça compétence par compétence. Les exercices sont en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.