Ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale spécialité est une évaluation complète d'une heure sur le chapitre du dénombrement. Il aborde toutes les notions essentielles à travers quatre exercices variés : calcul de cardinaux, combinaisons, arrangements, permutations, et résolution de problèmes concrets. Ce sujet corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner et maîtriser les techniques de dénombrement.
Exercice 1 : Ensembles et Cardinaux
- La première question demande de calculer le nombre d'éléments du produit cartésien de deux ensembles finis \(E\) et \(F\), en appliquant le principe multiplicatif : \(\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)\).
- La deuxième question est une question de logique sur l'intersection des ensembles \(E \times F\) et \(F \times E\), testant la compréhension de la structure d'un couple.
- Enfin, la troisième question consiste à déterminer le cardinal de l'union de deux ensembles, \(\text{Card}(E \cup F)\), en utilisant la formule bien connue : \(\text{Card}(E \cup F) = \text{Card}(E) + \text{Card}(F) - \text{Card}(E \cap F)\).
Exercice 2 : Dénombrement avec un jeu de cartes
Cet exercice met en application les outils de dénombrement dans un contexte classique de jeu de cartes.
- La première question porte sur le nombre de mains possibles de 8 cartes tirées parmi 32. Il s'agit d'un tirage simultané, donc on utilise les combinaisons : \(\binom{32}{8}\).
- La deuxième question complexifie le problème avec deux joueurs qui tirent des cartes l'un après l'autre. Le nombre de tirages total se calcule en multipliant les possibilités pour chaque joueur : \(\binom{32}{8} \times \binom{24}{8}\).
- La dernière question demande de trouver le nombre de manières de ranger 8 cartes spécifiques. L'ordre étant important, il s'agit d'une permutation de 8 éléments, soit \(8!\).
Exercice 3 : Problèmes de dénombrement variés
Cet exercice balaye différents types de problèmes pour tester la capacité à choisir le bon outil de dénombrement.
- Question 1 : Dénombrer les façons de jouer 4 cordes d'un ukulélé l'une après l'autre, un cas simple de permutation.
- Question 2 : Compter les alignements de 4 jetons tirés parmi 10 sans remise. C'est une situation typique d'arrangement, noté \(A_{10}^4\).
- Question 3 : Résoudre l'équation \(\binom{n}{2} = \binom{n+1}{3}\). Cet exercice technique demande de manipuler les formules des combinaisons avec les factorielles et de résoudre l'équation polynomiale qui en résulte.
- Question 4 : Comparer le nombre d'anagrammes des mots 'ANAGRAMME' et 'SPAGHETTI'. Il faut ici utiliser la formule des permutations avec éléments semblables (ou répétitions).
Exercice 4 : Tirages dans une urne
Ce dernier exercice, divisé en deux parties, est un grand classique qui permet de bien distinguer les différents types de tirages.
Partie A
- Tirages successifs avec remise (k-uplets) : On forme des nombres de trois chiffres en tirant 3 boules avec remise. Les questions portent sur le nombre total de possibilités, le nombre de nombres pairs, et le nombre de cas où un chiffre est répété exactement deux fois.
- Tirages successifs sans remise (arrangements) : On change les conditions du tirage. Les questions s'adaptent, comme le dénombrement de nombres ne contenant pas un certain chiffre.
- Tirages simultanés (combinaisons) : On tire 3 boules en même temps. Il faut calculer le nombre de tirages possibles, puis le nombre de tirages sous certaines contraintes (sans certains numéros, ou avec une composition précise).
Partie B
La partie B est un problème inverse. Connaissant le nombre total de tirages simultanés de 2 boules (903), il faut retrouver le nombre total de boules \(n\) dans l'urne. Cela mène à la résolution de l'équation \(\binom{n}{2} = 903\), qui est une équation du second degré.
Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale spécialité, dénombrement, combinaisons, arrangements, permutations, principe multiplicatif, cardinal, exercices de maths.