Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité, portant sur les chapitres fondamentaux de la récurrence et de l'étude de suites. Ce document complet, accompagné de son analyse de compétences, est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et évaluer leur maîtrise des notions clés du programme. Le sujet est conçu pour être traité en 2 heures, avec la calculatrice autorisée, simulant ainsi les conditions réelles d'une évaluation.

Ce contrôle aborde des aspects variés, allant du raisonnement par récurrence à la modélisation de situations concrètes via des suites arithmético-géométriques, en passant par l'étude de fonctions associées et le calcul de sommes de termes.

Exercice 1 : Vrai ou Faux (6 points)

Cet exercice teste la compréhension de base et la capacité à justifier rigoureusement des affirmations sur les suites. Il s'agit d'un QCM où chaque réponse doit être argumentée pour obtenir les points.

• Affirmation 1 : Calcul d'un terme d'une suite explicite. On vérifie si pour la suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = 1 - 2n - n^2 \), on a bien \( u_{n-1} = -n^2 + 2 \). Cela demande une simple substitution et manipulation algébrique.
• Affirmation 2 : Étude du sens de variation d'une suite récurrente simple \( (v_n) \) définie par \( v_0 = -2 \) et \( v_{n+1} = 7v_n - 1 \). Il faut ici étudier le signe de \( v_{n+1} - v_n \) ou utiliser un raisonnement par récurrence pour prouver la croissance.
• Affirmation 3 : Majoration d'une suite. Pour la suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = \frac{n-3}{-n-1} \), il faut démontrer si elle est majorée par 4. Cela implique de résoudre une inéquation ou d'étudier la fonction associée.
• Affirmation 4 : Calcul des termes d'une suite arithmético-géométrique. Pour \( (t_n) \) définie par \( t_{n+1} = 2t_n - 4 \) avec \( t_2 = 8 \), l'affirmation porte sur la valeur du terme initial \( t_0 \). Il s'agit de "remonter" la suite.
• Affirmation 5 : Propriétés d'une suite récurrente. Pour \( (x_n) \) avec \( x_0 = -3 \) et \( x_{n+1} = -3 - 2x_n^2 \), on demande si la suite est décroissante et majorée par 0. Cela nécessite de calculer les premiers termes et de poser les bases d'une démonstration.

Exercice 2 : Étude d'une suite avec une fonction (3 points)

Cet exercice est un classique du chapitre : l'étude d'une suite du type \( u_{n+1} = f(u_n) \). On considère la suite \( (a_n) \) définie par \( a_0 = 0 \) et \( a_{n+1} = \frac{2a_n + 3}{a_n + 4} \), associée à la fonction \( f(x) = \frac{2x+3}{x+4} \).

• 1) Conjecture : Utilisation de la calculatrice pour émettre une hypothèse sur le sens de variation de la suite \( (a_n) \).
• 2) Étude de fonction : Il est demandé d'étudier le sens de variation de la fonction \( f \) sur l'intervalle [0; 1], ce qui est une étape clé pour prouver les propriétés de la suite par la suite. Cela passe par le calcul et l'étude du signe de la dérivée.
• 3) Raisonnement par récurrence : Le cœur de l'exercice est de démontrer par récurrence que la suite \( (a_n) \) est croissante et bornée (minorée par 0 et majorée par 1). La question guide l'élève en demandant de rédiger spécifiquement l'étape d'hérédité, point technique du raisonnement.

Exercice 3 : Problème de modélisation (9 points)

Cet exercice complet et concret propose de modéliser l'évolution d'une population de bactéries à l'aide d'une suite arithmético-géométrique. La masse de bactéries augmente de 20% par jour, et 100g sont retirés quotidiennement.

• Modélisation : La première question consiste à traduire l'énoncé en une relation de récurrence, aboutissant à \( u_{n+1} = 1,2 u_n - 100 \) avec \( u_0 = 1000 \).
• Algorithmique : On cherche à déterminer au bout de combien de jours la masse dépassera 30 kg. Cette question est traitée à la fois par conjecture à la calculatrice et en complétant un algorithme en Python qui calcule ce seuil.
• Étude de la suite :
  • a) Démontrer par récurrence que \( u_n \ge 1000 \).
  • b) Étudier le sens de variation de \( (u_n) \) en calculant \( u_{n+1} - u_n \).
  • c) Interpréter les résultats dans le contexte du problème.
• Suite auxiliaire : Pour trouver la forme explicite de \( (u_n) \), on introduit une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - 500 \). Il faut démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique, puis en déduire l'expression de \( u_n \) en fonction de \( n \). Enfin, on utilise cette expression pour poser l'inéquation permettant de résoudre le problème initial.

Exercice 4 : Somme de termes (2 points)

Cet exercice rapide mais technique évalue la capacité à calculer la somme des termes d'une suite. La suite \( (a_n) \) est définie explicitement comme la somme d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique : \( a_n = 4 \times (\frac{2}{3})^n + n - 5 \). La tâche est de démontrer la valeur exacte de la somme \( S_{20} = a_0 + a_1 + \dots + a_{20} \). Cela requiert la maîtrise des formules de somme des termes d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique.