14. Distance entre un point et un plan ou une droite

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très simplement comment calculer des distances d'un point à une droite ou une distance d'un point à un plan. C'est un exercice typique de contrôle ou de bac, sauf qu'en général on vous le fait pas en deux questions. Ce sont des exercices qu'on découpe sur tout un gros exercice bac ou tout un gros exercice de contrôle. Ici, je vais simplifier, je les casse en deux petites questions pour qu'on puisse s'y retrouver plus facilement.

Calcul de la distance d'un point à une droite ou à un plan

Pour calculer la distance d'un point à une droite ou d'un point à un plan, si vous avez par exemple un point \(A\) avec un plan \(P\) ou alors un point avec une droite \(D\), ce qu'on appelle la distance de \(A\) à \(D\) c'est en fait la distance entre le point \(A\) et son projeté orthogonal sur la droite ou son projeté orthogonal sur le plan. Pour pouvoir calculer ces distances de \(A\) à \(D\), il va d'abord falloir trouver son projeté orthogonal. On l'a vu dans la compétence juste avant, il y a plein de techniques pour trouver le projeté orthogonal. En général, on va vous guider, on va casser l'exercice en petite question pour vous amener vers la découverte de ce projeté orthogonal. Dans cet exercice, je vous donne le point \(H(1,2,3)\) qui est le projeté orthogonal sur la droite et je vous demande de le vérifier. Une fois que vous avez vérifié que le point \(H\) est bien le projeté orthogonal, pour calculer la distance de \(A\) à la droite, on va juste calculer cette distance \(AH\). C'est très simple parce qu'on a les coordonnées de \(H\) et de \(A\) et on pourra faire \(\sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2}\), la formule qui s'affiche là pour avoir cette distance.

Vérification du projeté orthogonal

Pour vérifier rapidement que le point \(H\) est bien le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite, on peut faire c'est un produit scalaire. Le fait que \(H\) soit un projeté orthogonal veut dire deux choses. Premièrement, que le vecteur \(AH\) est perpendiculaire au vecteur directeur de \(D\). Le vecteur directeur de \(D\) est facile à trouver vu que c'est les coordonnées qui sont données. Ensuite, il faut vérifier que le point \(H\) appartient bien à la droite \(D\). Pour vérifier que le point \(H\) appartient bien à la droite \(D\), je vais prendre les coordonnées du point \(H\) et je vais les remplacer à la place de \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation de la droite et je regarde s'il y a une valeur de \(t\) qui me permet de résoudre cette équation.

Calcul de la distance

Maintenant, on va en déduire la distance de \(A\) à \(D\). On a les coordonnées du projeté orthogonal de \(A\) sur \(H\), on a les coordonnées de \(A\) et on a les coordonnées de \(H\). Pour avoir la distance, on calcule la longueur du segment \(AH\) qui vaut \(\sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2}\) et ça fait \(\sqrt{10}\). On vous a mis des exercices en dessous, on reprend tout étape par étape pour arriver à notre exercice type qui est l'exercice que vous aurez au bac. C'est un bon exercice, c'est vraiment ce que vous allez avoir au bac. À vous de jouer, vous êtes des champions!