Introduction
Dans cette vidéo, on va voir comment, sans se tromper, on peut repérer quelle est la raison et le premier terme dans une suite dont on a soit la forme explicite, soit la forme récurrente. C'est parti.
Formules de suites arithmétiques et géométriques
Je vous rappelle les formules suivantes : pour une suite arithmétique, on a les deux formules qui s'affichent là , et pour une suite géométrique, on a les deux formules qui s'affichent là .
Identification de la raison et du premier terme
Commençons avec la première. Comment faire pour trouver la raison et le premier terme dans cette formule ? On voit que c'est une suite qui est définie de manière explicite, c'est-à -dire directement \(u_l\) en fonction de \(l\). On va se dire, ça va être compliqué, moi je sais le faire que pour la suite arithmétique ou géométrique. À laquelle des deux formules cela ressemble-t-il ? Est-ce que c'est plutôt quelque chose du style \(u_r + l - p \times r\) ou est-ce que c'est plutôt quelque chose du type \(u_p \times q^l\) ? Est-ce que vous voyez une puissance là ? Non, il n'y a pas de puissance, donc c'est forcément la première formule \(u_r + l - p \times r\). \(u_r\) c'est le premier terme, \(n - p\) c'est ce qu'on a ici et \(r\) c'est ce qu'on a ici. Donc vous avez déjà trouvé la raison, elle vaut trois. Maintenant, on est censé avoir \(u_r - p\), sauf que moi j'ai juste \(n\). Je vous dis en fait, si vous avez \(n - p\), \(n - 0\), pourquoi est-ce qu'on écrit ça ? Parce que du coup, ce \(n - 0\) ça nous donne l'indice de ses premiers termes. Ici on a \(u_0\) qui vaut deux et la raison qui vaut 3. C'est aussi simple que ça.
Exemples supplémentaires
On va continuer avec ici. Est-ce que ça vous fait penser plutôt à la première, donc à la formule de la suite arithmétique, ou à la seconde, à la formule de la suite géométrique ? Clairement, là on a une puissance, donc c'est qu'on a affaire à une suite géométrique. Je fais la même chose ici pour avoir mon \(n - p\), il ne reste plus qu'à lire. Parce que je lis ici, c'est \(u_p\), sauf que \(u_p\), on a vu qu'il valait zéro. Donc ici, j'ai \(u_0\) et ici, j'ai la raison. Donc \(u_0\) vaut -2 et la raison vaut 2. J'encadre et c'est tout.
Allez, encore une. \(u_n = -3n\). Est-ce que ça ressemble plutôt à une suite arithmétique ou plutôt à une suite géométrique ? On voit qu'on est plutôt sur la formule \(u_p + l \times r\). Donc je recommence, \(u_r - 0\), mon \(p\) est donné ici. Donc ici, ce que je dis, c'est \(u_0\) et ce que j'ai ici, c'est ma raison. Donc j'ai \(u_0\) qui vaut -3 et la raison qui vaut 3. Non, elle ne vaut pas 3 parce qu'on n'a pas écrit \(u_n = u_p + n \times r\), on a écrit \(u_n = u_p + 1 \times r\). Autrement dit, mon -3, c'est ma raison parce que c'est \(u_p - 3 \times l - 0\).
Forme récurrente
Et c'est parti quand on vous le donne de manière récurrente. \(u_{n+1} = 3u_n\), c'est encore plus simple. Il suffit juste de regarder laquelle des deux s'applique. \(u_{n+1} = u_n \times q\), donc c'est une suite géométrique. Sa raison vaut 3 et son premier terme, il est donné ici, il vaut 4. Rien de plus simple. Encore faut-il s'entraîner, à vous de jouer. On vous a mis des exercices en dessous.