8. Montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très simplement comment montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan. On se fait ça tout de suite. Pour montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan, vous avez deux cas de figure possibles.

Cas où le plan est donné

Soit on est dans le cas où on vous a donné un plan. Vu qu'on vous a donné un plan, on vous a donné accès aux vecteurs normaux de ce plan. Les coordonnées du vecteur normal du plan, c'est ce que vous lisez devant \(x\), \(y\) et \(z\). Donc ici, c'est \(-6\), \(-4\), \(-2\). Vous avez donc les coordonnées du vecteur normal du plan. Vous avez les coordonnées de la droite, vu que vous avez son équation. Vous avez aussi accès aux vecteurs directeurs de cette droite. Les coordonnées du vecteur directeur de cette droite, c'est ce qu'il y a devant, donc c'est \(3\), \(2\) et \(1\). Si la droite est perpendiculaire au plan, ça veut dire qu'elle a la même direction que le vecteur normal qui, par définition, est perpendiculaire au plan. Donc cette direction, celle de \(h\) et celle de \(d\) (les vecteurs), est la même. Si deux vecteurs ont la même direction, ces deux vecteurs sont collinaires. Donc on va vérifier si \(h\) et \(d\) sont collinaires. Comment est-ce qu'on va faire ? Eh bien, on va diviser les coordonnées de \(h\) par celles de \(d\) et on va voir si on obtient toujours le même résultat. \(-6\) (c'est-à-dire la coordonnée de \(h\)) divisé par \(3\) (la première coordonnée de \(d\)) ça me fait \(-2\). \(-4\) divisé par \(2\) ça me fait \(-2\) et \(-2\) divisé par \(1\) ça me fait encore \(-2\). Donc les vecteurs \(h\) et \(d\) sont collinaires, donc la droite \(d\) et le plan \(p\) sont perpendiculaires.

Cas où le plan n'est pas donné

Si je n'ai pas eu l'équation du plan, j'aurais fait la technique habituelle qui est de dire : je prends mon plan \(p\), je prends deux vecteurs de ce plan qui ne sont pas collinaires et je montre que mon vecteur \(d\) est perpendiculaire à ces deux vecteurs. Comment est-ce que je fais pour montrer qu'il est perpendiculaire ? J'utilise le produit scalaire. On vous a mis des petits exercices en dessous, entraînez-vous là-dessus. Ça commence à faire jouer différents concepts. Ça tombe au contrôle, à vous de jouer les champions. [Musique]