Analyse et Corrigé du Bac Blanc de Mathématiques (Première Spécialité)

Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé complet d'un sujet de Bac Blanc de mathématiques destiné aux élèves de Première suivant la spécialité maths. D'une durée de 2 heures et sans calculatrice, ce contrôle couvre plusieurs chapitres essentiels du programme : les automatismes, la géométrie repérée, la fonction exponentielle, la dérivation et les suites numériques. Ce contrôle corrigé est idéal pour s'entraîner et valider ses acquis.

Partie 1 : Automatismes (QCM)

Cette première partie est un QCM de 12 questions visant à évaluer la maîtrise des savoir-faire de base et la rapidité de calcul. Chaque question porte sur un point précis du programme.

• Question 1 : Manipulation d'expressions littérales. Il s'agit d'isoler une variable \(u\) dans l'équation \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{u} \), ce qui requiert une réduction au même dénominateur.
• Question 2 : Probabilités fondamentales. Dans une expérience de lancer de dé pipé, il faut utiliser l'axiome que la somme des probabilités des issues est égale à 1 pour trouver la valeur d'une probabilité inconnue \(x\).
• Question 3 : Identification de fonctions affines. L'exercice demande de reconnaître si des fonctions, données sous des formes plus ou moins complexes comme \(f_1(x) = \frac{x - \frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}}\) ou une fonction constante, sont de type \(ax+b\).
• Question 4 : Équation de droite. À partir de la représentation graphique d'une droite, il faut déterminer son équation cartésienne ou réduite.
• Question 5 : Calcul algébrique et identités remarquables. Il faut développer et simplifier l'expression \( (10x + 0,1)^2 – (11x - 1,1)^2 \).
• Question 6 : Lecture graphique et inéquations. Il s'agit de résoudre graphiquement une inéquation de la forme \(x \times f(x) \leq 0\) en analysant le signe de chaque facteur à partir de la courbe de \(f\).
• Question 7 : Tableau de signe d'un polynôme. Pour la fonction \(f(x) = (18 – 3x)(5x + 20)\), il faut trouver les racines et dresser le tableau de signe d'un trinôme du second degré.
• Question 8 : Forme canonique et parabole. Reconnaître l'expression d'une fonction du second degré à partir du graphique de sa parabole.
• Question 9 : Priorités opératoires et fractions. Un calcul simple mais demandant de la rigueur sur la priorité des opérations dans l'expression \(G = a - \frac{b}{cd}\).
• Question 10 : Inéquation du second degré. Résolution de l'inéquation \(x^2 > 9\).
• Question 11 : Statistiques et moyennes. Calculer une valeur manquante dans une série de notes pondérées pour atteindre une moyenne cible.
• Question 12 : Racines carrées et expression conjuguée. Pour calculer l'inverse de \(2 - \sqrt{2}\), l'utilisation de la quantité conjuguée est la méthode attendue.

Partie 2 : Problèmes

Cette seconde partie est composée de deux exercices plus longs qui permettent d'évaluer la capacité à raisonner, à modéliser et à enchaîner plusieurs questions sur une thématique donnée.

Exercice 1 : Géométrie Repérée

Cet exercice se concentre sur la notion de lieu géométrique de points, défini par la relation \( \frac{MA}{MB} = k \).

• Partie A : Le cas simple \(k=1\) est étudié. La condition \(MA=MB\) définit géométriquement la médiatrice du segment \([AB]\), un résultat de cours à redémontrer.
• Partie B : Le cas \(k=3\) est analysé dans un repère orthonormé.
  1. On exprime d'abord les distances \(MA^2\) et \(MB^2\) en fonction des coordonnées \((x,y)\) de M.
  2. En traduisant la condition \(MA^2 = 9 MB^2\), on aboutit par le calcul à une équation cartésienne : \( x^2 + y^2 – 14x + 3y + 40 = 0 \).
  3. Il faut ensuite reconnaître cette équation comme celle d'un cercle. La mise sous forme canonique \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \) permet de trouver son centre \(\Omega\) et son rayon \(R\).
  4. La dernière question porte sur l'intersection de ce cercle avec la droite (AB). Il faut établir l'équation de la droite (AB) puis résoudre le système formé par les deux équations.

Exercice 2 : Fonction Exponentielle et Suites

Ce problème complet mêle l'étude d'une famille de fonctions et l'analyse d'une suite géométrique qui en découle.

• Partie A (Existence) : On étudie la famille de fonctions \( f_n(x) = \frac{x}{e^{nx}} \).
  1. Le calcul de la dérivée \(f'_n(x)\) est la première étape, en appliquant les règles de dérivation d'un produit ou d'un quotient impliquant la fonction exponentielle.
  2. L'étude du signe de la dérivée permet de dresser le tableau de variation de \(f_n\) et de prouver qu'elle admet un maximum. On détermine alors les coordonnées \((a_n, M_n)\) de ce sommet \(S_n\).
• Partie B (Comportement) : On s'intéresse à la position des sommets \(S_n\).
  1. On montre que les points \(S_n\) sont tous alignés en trouvant une relation linéaire entre leur abscisse et leur ordonnée (\(y = \frac{1}{e}x\)).
  2. On définit une suite \((l_n)\) par la distance entre deux sommets successifs : \(l_n = S_nS_{n+1}\). Il faut calculer l'expression de \(l_n\) en fonction de \(n\), puis étudier sa monotonie.
  3. La dernière question demande de calculer la somme des \(n\) premiers termes de la suite \((l_n)\), faisant appel à la reconnaissance d'une somme télescopique.