Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde, axé sur trois chapitres fondamentaux du programme : les taux d'évolution, les vecteurs et les droites du plan. Ce sujet de 2 heures, avec calculatrice autorisée, est un excellent outil de révision et d'évaluation des compétences. Il propose une série d'exercices variés, allant du QCM rapide à des problèmes de géométrie plus complexes, pour un test complet des connaissances. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles et pour les enseignants à la recherche de ressources pédagogiques.

Exercice 1 : QCM sur les Pourcentages (3 points)

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) de 10 questions balayant l'ensemble des notions sur les pourcentages et les taux d'évolution. Chaque question teste un savoir-faire précis :

• Calculer une population totale à partir d'une proportion (ex: 43 adhérents représentent 2,5% du total).
• Déterminer un pourcentage (ex: la proportion de chocolats blancs sur un total de 300).
• Appliquer un pourcentage à une valeur donnée (ex: 30% de 1800 employés).
• Calculer un taux d'évolution à partir de la valeur initiale \(V_i\) et finale \(V_f\) avec la formule \(t = \frac{V_f - V_i}{V_i}\).
• Interpréter un coefficient multiplicateur \(CM\) en termes de hausse ou de baisse (ex: un \(CM\) de 0,88 correspond à une baisse de 12%).
• Calculer le coefficient multiplicateur associé à une évolution donnée (ex: une baisse de 32%).
• Appliquer des évolutions successives, par exemple une baisse de 15% suivie d'une baisse de 10%, et trouver le taux global.
• Calculer un taux d'évolution réciproque, c'est-à-dire le taux nécessaire pour annuler une évolution précédente.
• Calculer un pourcentage de pourcentage (ex: 60% de 30% d'élèves).

Exercice 2 : Problème Concret sur les Taux d'Évolution (2,5 points)

Cet exercice met en application les notions de pourcentages dans un contexte commercial de torréfaction de café. Il s'agit de :

1. Calculer le prix de revient d'un paquet de 500g de café, qui est un mélange de 70% d'arabica à 18€/kg et 30% de robusta à 9€/kg. Cela demande de manipuler les proportions et les masses.
2. Calculer un prix de vente pour réaliser un bénéfice de 20%, ce qui revient à appliquer une augmentation de 20% au prix de revient.
3. Analyser l'impact d'une évolution des coûts des matières premières (hausse de 25% pour l'arabica, baisse de 10% pour le robusta) sur le prix de revient du paquet.
4. Calculer le taux d'évolution global du prix de revient sur un an.

Exercice 3 : Géométrie Analytique et Vecteurs (3 points)

L'exercice 3 plonge les élèves dans la géométrie repérée. À partir des coordonnées de trois points \(A(-2;1)\), \(B(3;6)\) et \(C(4;-1)\) dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), il faut :

• Démontrer que le triangle \(ABC\) est isocèle en calculant les longueurs des côtés via la formule de la norme d'un vecteur : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).
• Calculer les coordonnées du milieu \(K\) du segment \([AC]\) avec la formule \(K\left(\frac{x_A+x_C}{2} ; \frac{y_A+y_C}{2}\right)\).
• Déterminer les coordonnées du point \(D\), symétrique de \(B\) par rapport à \(K\), ce qui signifie que \(K\) est aussi le milieu de \([BD]\).
• Justifier la nature du quadrilatère \(ABCD\). Le fait que les diagonales se coupent en leur milieu \(K\) prouve que c'est un parallélogramme. La nature isocèle du triangle \(ABC\) permet de préciser sa nature (losange).

Exercice 4 : Géométrie Plane et Théorèmes (3 points)

Cet exercice propose une approche de la géométrie sans coordonnées. À partir d'une figure codée, il faut utiliser des théorèmes classiques pour analyser le quadrilatère \(ABCD\). Les étapes sont :

• Calculer une longueur manquante (\(DC\)) en utilisant le théorème de Pythagore.
• Démontrer que le quadrilatère n'est pas un losange en comparant les longueurs des côtés.
• Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer que les droites \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles. Il faut pour cela vérifier l'égalité des rapports \(\frac{EA}{EC} = \frac{EB}{ED}\).
• Démontrer que les deux autres côtés ne sont pas parallèles.
• Conclure sur la nature exacte du quadrilatère (un trapèze).

Exercice 5 : Équations de Droites (3 points)

L'exercice 5 est centré sur la manipulation des équations de droites dans le plan. On travaille avec des points \(A(-1;4)\), \(B(3;-4)\) et \(C(1;5)\).

1. Déterminer le coefficient directeur et l'équation réduite \(y=mx+p\) de la droite \((AB)\).
2. Vérifier si un point \(E\) appartient à la droite \((AB)\) en testant si ses coordonnées satisfont l'équation.
3. Trouver l'équation de la droite \(d\) parallèle à \((AB)\) et passant par \(C\).
4. Trouver les coordonnées du point d'intersection \(K\) de la droite \((AB)\) et d'une autre droite \(d'\) donnée par son équation cartésienne \(x-y-1=0\), ce qui demande de résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
5. Déterminer l'équation de la droite \((CK)\) et justifier pourquoi elle ne peut pas être sous la forme \(y=mx+p\) (cas d'une droite verticale).

Exercice 6 : Problèmes de Synthèse sur les Droites (4 points)

Ce dernier exercice de géométrie analytique propose des questions plus élaborées :

• Montrer qu'une droite passe par le milieu d'un segment.
• Démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment, ce qui implique de vérifier à la fois la perpendicularité (produit des coefficients directeurs égal à -1) et le passage par le milieu.
• Résoudre un problème plus complexe : trouver les coordonnées d'un point \(K\) appartenant à une droite \((\Delta)\) d'équation \(y=x-2\), tel que le triangle \(GHK\) soit rectangle en \(K\). Cette question nécessite de poser les coordonnées de \(K\) en fonction d'une seule inconnue \((x_K, x_K-2)\), puis d'utiliser le théorème de Pythagore (\(GK^2 + HK^2 = GH^2\)) pour trouver \(x_K\).

Exercice 7 : Démonstration sur les Taux d'Évolution (1,5 point)

Pour finir, un exercice de raisonnement algébrique qui demande de :

1. Démontrer formellement qu'une hausse de \(x\%\) suivie d'une baisse de \(x\%\) n'est pas une opération nulle, mais équivaut à une baisse de \(\frac{x^2}{100}\%\). La preuve passe par la multiplication des coefficients multiplicateurs : \(CM_{global} = (1+\frac{x}{100})(1-\frac{x}{100}) = 1 - (\frac{x}{100})^2\).
2. Analyser le cas inverse (baisse puis hausse) et conclure.