9. Résoudre une équation A(x)/B(x)=k

Introduction

Allez les amis, c'est parti ! Aujourd'hui, on va résoudre des équations quotient qui ne sont pas égales à zéro, mais qui sont égales à un nombre. On s'y met tout de suite.

Résolution d'équations quotient

Vous savez résoudre sans aucun souci \( \frac{2x}{b} = 0 \). Par exemple, \( \frac{3x}{2x - 2} = 0 \), ça ne pose aucun problème. Vous savez que \( a \cdot x = 0 \) s'acquitte si \( a = 0 \) et \( b \) va me donner les valeurs interdites. Le problème, c'est que votre prof, ce petit filou, ne va pas se contenter de vous donner des \( \frac{2x}{b} = 0 \). Il va vous donner des \( \frac{2x}{b} = 3 \), \( \frac{2x}{b} = -2 \), \( \frac{2x}{b} = \text{quelque chose} \). Comment on fait ? On abandonne ? Non, on n'abandonne pas ! Vous allez transformer cette équation en une équation \( \frac{2x}{b} = 0 \). De toute manière, sachez bien que tout ce que vous savez résoudre comme équation, et je vous le dis sérieusement, c'est \( ax = 0 \), \( \frac{a}{b} = 0 \) et \( a^2 = b \). Donc, quand on vous demande de résoudre une équation, il faut absolument vous ramener à une de ces formes.

Exemple de résolution

Pour commencer, c'est le -2 qui nous embête. On va le passer de l'autre côté. Donc, on va faire -2 des deux côtés. Donc, je me retrouve avec \( \frac{2x}{x - 5} - 2 = 0 \). Ensuite, est-ce que j'ai un \( ax = 0 \) ou un \( a^2 = b \) ? Non. Je n'aime pas les - au milieu, je n'en veux pas. Je veux un \( ax = 0 \) ou un \( \frac{a}{b} = 0 \). Donc, qu'est-ce que je vais faire ? Eh bien, je vais tout mettre au même dénominateur. Donc, mon 2, je vais le mettre sur \( x - 5 \) en multipliant aussi le haut par \( x - 5 \). Je continue, je me retrouve avec \( \frac{2x}{x - 5} - \frac{2x + 10}{x - 5} = 0 \). J'ai le même dénominateur ici et ici, je peux donc faire une barre de fraction unique. Je vais mettre \( x - 5 \) en dessous et en haut, je vais faire ce calcul, donc \( 2x - 2x + 10 = 0 \). Non, surtout pas ! Pas \( 2x - 2x + 10 = 0 \) ! Pourquoi ? Prenez 30 secondes et dites-moi quelle est l'erreur que j'ai faite ici. L'erreur, ce n'est pas d'abord d'écrire, c'est de réfléchir. J'ai fait une erreur quand je suis passé de là à là. Alors, vous l'avez tous fait en seconde, franchement, tous les seconds à fond arrivés ici. Alors, le - qui est devant là, il concerne qui ? Il concerne tout ce bloc là. Donc, il concerne soit le haut, soit tout le bas, en fonction de comment ça vous arrange. Vous pourriez décider de le mettre sur le \( x - 5 \), mais vous ne l'avez pas mis sur le \( x - 5 \), vous l'avez laissé comme ça. Donc, le - là, vous l'avez mis sur le haut. Donc, mon \( 2x \) va devenir \( -2x \), mais mon \( -10 \), cela en fait, c'est comme si j'avais une parenthèse \( -2x - 10 \). Donc, si j'enlève la parenthèse, ça fait \( -2x + 10 = 0 \). Et là, vous avez bien fait le travail. Vous voyez que même quand on maîtrise la théorie, après, on peut se tromper sur les calculs. On continue, \( 2x - 2x + 10 \), \( 2x - 2x \) ça fait zéro, il me reste donc \( \frac{10}{x - 5} = 0 \). J'ai bien un \( ax = 0 \), donc c'est soit 10 qui vaut zéro, ce qui est impossible, donc pas de solutions, soit \( x - 5 = 0 \), c'est vrai ça ? Et non, c'est pas vrai, c'est pas \( 10 = 0 \) ou \( x - 5 = 0 \), on n'est pas dans le cas \( ax = 0 \), on est dans le cas \( \frac{a}{b} = 0 \) et quand j'ai \( \frac{a}{b} = 0 \), ça veut dire que c'est forcément \( a = 0 \) et que \( b \neq 0 \), ça me donnait les valeurs interdites. Autrement dit, il faut que \( b \neq 0 \). Donc, la solution, il n'y en a pas et par contre, les valeurs interdites, ça va être les valeurs de \( x \) tels que \( x - 5 = 0 \), donc ça veut dire qu'il faut que \( x \neq 5 \). Donc, on a une équation qui n'a pas de solution et on a une valeur interdite qui vaut 5 et qu'on aurait pu trouver dès le début en regardant ça ici.

Exercice

Allez, je vous en ai mis un petit ici, vous me le ferez pour le plaisir. On corrige donc cette fois-ci, on va faire un peu différemment, on va commencer par trouver les valeurs interdites. Donc, les valeurs interdites, c'est les valeurs de \( x \) qui pourraient annuler un dénominateur. Le seul dénominateur que j'ai ici, c'est celui-là, donc on veut que \( x - 1 \neq 0 \), donc on veut que \( x \neq 1 \). Voilà, j'ai trouvé ma seule valeur interdite. Ensuite, comment est-ce que je gère ça ? Eh bien, je me souviens, et là ça commence à faire 36 fois que je vous le dis, mais c'est pas grave, moi je m'en fous, je suis pas là pour répéter 1000 fois. Vous savez pas résoudre \( ax + b = 0 \), ce que vous savez résoudre, c'est au choix \( ax = 0 \), \( \frac{a}{b} = 0 \) ou \( a^2 = b \). Donc, vous allez vous débrouiller pour me mettre ça sous la forme d'une de ces trois équations. À votre avis, laquelle on va choisir ? On va évidemment choisir la forme \( ax = 0 \). Donc, on a déjà \( ax + b \), c'est le -2 qui nous embête, donc qu'est-ce qu'on va faire ? On va le mettre au même dénominateur. Donc, moi je vais tout mettre sur \( x - 1 \). Je tire une grande barre avec \( x - 1 \) en dessous, je remets \( 3x + 1 - 2x + 2 = 0 \) et je finis par \( 3x - 2x + 1 + 2 = 0 \) sur \( x - 1 \). Donc, on a bien une forme \( ax = 0 \), les valeurs interdites, c'est celles qui vont annuler \( x - 1 \), qu'on a trouvées ici, et les solutions, c'est juste \( a = 0 \), donc \( x + 3 = 0 \). Vous voyez comme c'est bon, on est passé de \( \frac{6 + 3}{x} = 0 \) directement à \( x + 3 = 0 \) et de ça, on en déduit que \( x = -3 \) en passant notre +3 de l'autre côté. Une solution, \( x = -3 \), la valeur interdite, \( x \neq 1 \). Vous avez l'impression d'avoir compris ? Vous n'avez rien compris tant que vous n'avez pas fait les exercices qu'on a mis en dessous. À vous de jouer !