Analyse complète du sujet de Bac Blanc de Mathématiques (Première Technologique)

Ce document est un sujet de bac blanc de mathématiques destiné aux élèves de première technologique. Il s'agit d'une épreuve complète de 2 heures, conçue pour évaluer les compétences sur plusieurs chapitres clés du programme : les pourcentages, les suites numériques, l'étude de fonctions avec la dérivation, et les probabilités conditionnelles. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour se préparer à l'épreuve anticipée de mathématiques.

Première partie – Automatismes

Cette section, notée sur 6 points, vise à vérifier la maîtrise des calculs et raisonnements de base sans justification. Les compétences balayées sont variées :

• Pourcentages et évolutions : Les trois premières questions portent sur l'application des pourcentages. On demande de calculer un prix après une baisse de 15%, de déterminer un taux d'évolution entre deux valeurs, et de calculer le taux d'évolution global issu de deux augmentations successives de 50%. Ce dernier cas nécessite de maîtriser la composition des coefficients multiplicateurs : \(CM_{global} = CM_1 \times CM_2\).
• Calculs fondamentaux : Une question évalue la capacité à effectuer des opérations sur les fractions (soustraction), et une autre le développement et la réduction d'expressions littérales comme \(–(2x - 5) + 3(x + 1)\).
• Équations : Il est demandé de résoudre une équation produit nul de la forme \((ax+b)(cx+d)=0\), compétence essentielle du programme.
• Lecture graphique : À partir de la courbe d'une fonction \(h\), il faut résoudre graphiquement une équation du type \(h(x) = k\) et une inéquation \(h(x) \ge 0\).
• Géométrie analytique : Une question porte sur le calcul du coefficient directeur d'une droite passant par deux points, via la formule \(a = \frac{\Delta y}{\Delta x}\).
• Statistiques descriptives : Les candidats doivent calculer la moyenne et le premier quartile d'une série statistique simple.
• Probabilités : La dernière question est une introduction aux probabilités conditionnelles, demandant de calculer \(P(A \cap B)\) à partir de \(P(A)\) et \(P_A(B)\).

Exercice 1 - La liste d'attente d'un conservatoire

Cet exercice de 4 points est une mise en application concrète des suites arithmétiques. Le contexte est celui d'une liste d'attente qui diminue de façon constante chaque mois.

• On modélise la situation par une suite \((u_n)\), où \(u_n\) est le nombre de demandes au mois \(n\).
• La première étape consiste à calculer les premiers termes \(u(1)\) et \(u(2)\) pour s'approprier le modèle.
• Il faut ensuite établir la relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n - 15\), ce qui permet de démontrer que la suite est arithmétique et de préciser sa raison \(r=-15\) et son premier terme \(u_0=420\).
• L'étape suivante est de trouver la forme explicite de la suite : \(u_n = 420 - 15n\).
• Le problème se conclut par la résolution d'une inéquation (\(u_n \le 120\)) pour déterminer à partir de quel mois la liste d'attente passera sous un certain seuil, et par une question d'interprétation demandant de valider ou non une affirmation en utilisant la formule explicite.

Exercice 2 - Le bénéfice d'une microbrasserie

Cet exercice, également sur 4 points, est un problème complet d'étude de fonction. Il est divisé en deux parties : une approche graphique et une étude analytique par le calcul.

• Partie A (Lectures graphiques) : Il s'agit de lire des images sur la courbe, mais surtout d'interpréter graphiquement le nombre dérivé. On détermine \(B'(11)\) comme la pente d'une tangente horizontale (donc nulle) et \(B'(8)\) comme la pente de la tangente en un point, calculée à l'aide de deux points. La résolution graphique d'une inéquation \(B(x) \ge 32\) est également demandée.
• Partie B (Étude du bénéfice) : On travaille cette fois avec l'expression de la fonction, un polynôme du second degré \(B(x) = -2x^2 + 44x - 192\). Les questions s'enchaînent logiquement : calcul de la fonction dérivée \(B'(x)\), étude de son signe, et construction du tableau de variation complet de la fonction \(B\). Le but final est de déterminer le bénéfice maximal, qui correspond à l'extremum de la fonction, et le volume de bière à brasser pour l'atteindre.

Exercice 3 - Le dépistage auditif des nouveau-nés

Ce dernier exercice sur 4 points est un problème classique de probabilités conditionnelles, typique de ce qui peut être attendu au bac. Il s'agit d'analyser la fiabilité d'un test de dépistage.

• La première question, fondamentale, est de modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré, en traduisant correctement les pourcentages de l'énoncé en probabilités : \(P(S)\), \(P_S(T)\), \(P_{\bar{S}}(T)\).
• On calcule ensuite la probabilité d'une intersection \(P(S \cap T)\) en utilisant les probabilités des branches de l'arbre.
• La question suivante fait appel à la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de l'événement "le test est positif", \(P(T) = P(S \cap T) + P(\bar{S} \cap T)\).
• Le cœur du problème réside dans le calcul d'une probabilité conditionnelle "inversée" : on demande la probabilité d'avoir la maladie sachant que le test est positif, soit \(P_T(S)\). Ce calcul met en évidence la différence cruciale entre la sensibilité du test \(P_S(T)\) et sa valeur prédictive positive \(P_T(S)\).
• La dernière question demande une analyse critique d'une affirmation courante qui confond ces deux probabilités, un point de réflexion important sur l'interprétation des statistiques.