Contrôle de Mathématiques sur les Suites Numériques pour Première Technologique

Ce sujet de contrôle pour la classe de Première Technologique est centré sur les chapitres des suites arithmétiques et géométriques ainsi que les généralités sur les suites. D'une durée d'1h30 et sans calculatrice, il évalue la capacité des élèves à modéliser des situations concrètes, à analyser des suites et à maîtriser leurs formules et propriétés. Ce corrigé détaillé vous aidera à comprendre chaque étape du raisonnement. Mots clés: Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première technologique, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Modélisation, Croissance linéaire, Croissance exponentielle.

Exercice 1 : Deux communes voisines, deux rythmes de croissance

Cet exercice propose une mise en situation concrète autour de la démographie de deux communes, Saint-Aubin et Montclar. L'objectif est de modéliser l'évolution de leur population à l'aide de suites numériques.

• Analyse de la population de Saint-Aubin : À partir d'un tableau de données, il faut d'abord identifier la nature de la suite \(p(n)\). En calculant la différence entre les termes consécutifs (\(p(1)-p(0) = 2460 - 2400 = 60\)), on démontre que la croissance est constante. Il s'agit donc d'un modèle linéaire, associé à une suite arithmétique de raison \(r=60\) et de premier terme \(p(0)=2400\).
• Expression explicite et calcul : La compétence suivante est de déterminer la forme explicite de la suite, soit \(p(n) = p(0) + n \times r = 2400 + 60n\). Cette formule est ensuite utilisée pour calculer la population à long terme, en 2032 (soit pour \(n=10\)).
• Analyse de la population de Montclar : Le second document décrit une augmentation en pourcentage (2% par an). Il faut reconnaître ici un modèle exponentiel, associé à une suite géométrique. La raison \(q\) est de \(1 + \frac{2}{100} = 1.02\).
• Représentation et comparaison : L'exercice demande de placer les points des deux suites sur un graphique pour visualiser les deux types de croissance. Enfin, une analyse comparative est menée pour déterminer quelle commune sera la plus peuplée en 2032 et comment l'écart de population évolue, illustrant la puissance de la croissance exponentielle sur le long terme.

Exercice 2 : Quatre réponses de Malik à vérifier

Cet exercice teste la rigueur du raisonnement et la connaissance précise des définitions et propriétés des suites. Il s'agit d'évaluer quatre affirmations d'un élève et de corriger les erreurs.

• Affirmation (a) sur \(u(n) = 5 + 2n\) : Malik identifie correctement une suite arithmétique de raison 2. L'enjeu est de valider sa justification, qui se base sur le calcul des premiers termes, et de rappeler la méthode formelle de la différence \(u(n+1) - u(n)\).
• Affirmation (b) sur \(t(n+1) = t(n) + 2n + 2\) : Un cas classique de généralisation abusive. Malik conclut à une suite géométrique car les premiers termes coïncident. Le calcul de \(t(3)\) permet de prouver que sa conclusion est fausse.
• Affirmation (c) sur le sens de variation d'une suite géométrique : Malik pense qu'une raison positive (\(q=0.8\)) implique une suite croissante. C'est une erreur fondamentale. Il faut rappeler que pour un premier terme positif, si \(0 < q < 1\), la suite est décroissante.
• Affirmation (d) sur \(r(n) = 7 - 3n\) : Une simple erreur d'identification de la raison d'une suite arithmétique. La raison est le coefficient de \(n\), soit \(-3\), et non le terme constant.

Exercice 3 : Question ouverte : deux nuages à identifier

Cet exercice se base sur la lecture et l'interprétation graphique. Deux nuages de points représentent les premiers termes de deux suites \(a\) et \(b\).

• Conjecture sur la nature des suites : Pour la suite \(a\), l'alignement quasi-parfait des points doit mener à la conjecture d'une suite arithmétique. Pour la suite \(b\), la courbure exponentielle des points doit faire penser à une suite géométrique.
• Détermination des caractéristiques : En lisant les coordonnées de quelques points, l'élève doit estimer le premier terme et la raison de chaque suite. Par exemple, pour la suite \(b\), en lisant \(b(0)=96\) et \(b(1)=48\), on peut conjecturer une raison \(q=0.5\).
• Extrapolation : La dernière étape consiste à utiliser la nature et les paramètres conjecturés pour calculer la valeur du terme suivant, le terme de rang 5.

Exercice 4 : Retrouver une suite à partir de deux de ses termes

Cet exercice est un grand classique qui évalue la maîtrise des formules des suites arithmétiques et géométriques.

• Cas de la suite arithmétique : Connaissant \(u(4) = 10\) et \(u(9) = 25\), il faut mettre en place un système ou utiliser la formule \(u_p = u_k + (p-k)r\) pour trouver la raison \(r\). Une fois \(r\) trouvée, on calcule \(u(0)\) pour enfin donner l'expression explicite \(u(n)\).
• Cas de la suite géométrique : Avec \(v(1) = 6\) et \(v(3) = 54\), la démarche est similaire en utilisant la formule \(v_p = v_k \times q^{p-k}\). On trouve la raison \(q\), puis \(v(0)\) et l'expression de \(v(n)\). L'énoncé précise que les termes sont positifs, ce qui permet de choisir la valeur positive pour \(q\) si une racine carrée apparaît.
• Sens de variation : Pour la suite géométrique, il est demandé de conclure sur son sens de variation, en appliquant les règles liant le signe du premier terme et la position de la raison par rapport à 1.