Découvrez notre corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour les élèves de Première Technologique, axé sur les chapitres de la dérivation locale et globale. Ce sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés de l'analyse de fonction. Il aborde la lecture graphique du nombre dérivé, le calcul de taux de variation, la détermination d'équations de tangentes, l'étude de variations de fonctions polynômes et la résolution de problèmes d'optimisation. Ce document vous guidera pas à pas à travers trois exercices complets, vous permettant de consolider vos connaissances et de vous préparer efficacement à vos évaluations.

Exercice 1 : Une courbe, deux tangentes (Vrai ou Faux)

Cet exercice de 8 points est un QCM de type Vrai/Faux avec justification obligatoire. Il s'appuie sur la représentation graphique d'une fonction \( f \) et de ses tangentes en deux points. L'objectif est de tester votre capacité à interpréter graphiquement les notions liées à la dérivation.

• Affirmation 1 : \( f'(0) = -3 \). Il s'agit ici de déterminer le nombre dérivé graphiquement. Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. On observe la tangente au point \( A(0; 1) \). En identifiant un autre point sur cette droite, on peut calculer sa pente et vérifier si elle est bien égale à -3. C'est une compétence essentielle pour lier analyse et géométrie.
• Affirmation 2 : Le taux de variation de \( f \) entre -1 et 1 est égal à -1. Cette question revient à la définition de base du taux d'accroissement. Il faut calculer la valeur \( \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} \) en lisant les coordonnées des points de la courbe d'abscisses -1 et 1. Une bonne lecture graphique est primordiale.
• Affirmation 3 : Si la tangente ... est parallèle à l'axe des abscisses, alors la fonction admet un maximum ou un minimum en ce point. Cette affirmation teste votre compréhension du lien entre la dérivée et les extremums. Une tangente horizontale signifie que \( f'(x)=0 \). C'est une condition nécessaire pour un extremum local, mais pas suffisante. L'énoncé suggère d'utiliser la fonction cube \( f(x) = x^3 \) comme contre-exemple, qui possède une tangente horizontale en 0 sans y avoir d'extremum.
• Affirmation 4 : On admet que \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \). La tangente à \( C_f \) au point d'abscisse 2 passe par le point \( E(3; 12) \). C'est une question de calcul complète. Il faut :
  1. Calculer la fonction dérivée \( f'(x) \).
  2. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 en utilisant la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).
  3. Vérifier si les coordonnées du point E satisfont l'équation de la tangente trouvée.

Exercice 2 : Maximum sur un intervalle fermé

Noté sur 5 points, cet exercice se concentre sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré, \( g(x) = 2x^3 − 9x^2 + 12x – 1 \), sur un intervalle borné \( [0; 3] \). C'est un cas d'étude classique qui mobilise toutes les techniques de dérivation globale.

• Question 1 : On vous demande de calculer la dérivée \( g'(x) \) et de vérifier qu'elle peut s'écrire sous une forme factorisée : \( g'(x) = 6(x – 1)(x – 2) \). Cette étape est cruciale car la forme factorisée facilite grandement l'étude de signe.
• Question 2 : À partir du signe de la dérivée \( g'(x) \), il faut dresser le tableau de variations complet de la fonction \( g \) sur l'intervalle \( [0; 3] \). Cela implique de trouver les racines de la dérivée, d'étudier son signe (ici, un polynôme du second degré) et d'en déduire les intervalles où \( g \) est croissante ou décroissante.
• Question 3 : La dernière question porte sur la recherche du maximum global de la fonction sur l'intervalle. Grâce au tableau de variations, il suffit de comparer les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle et aux points où la dérivée s'annule pour trouver la plus grande valeur.

Exercice 3 : Un été au camping

Cet exercice de 7 points est un problème de modélisation. Le nombre d'emplacements occupés dans un camping est modélisé par une fonction polynôme du troisième degré \( N(t) = -0,5t^3 + 6t^2 + 20 \), où \( t \) représente le nombre de semaines. L'objectif est d'appliquer les outils de la dérivation pour répondre à des questions concrètes.

• Question 1 : Il faut calculer les images \( N(0) \) et \( N(12) \) et, surtout, interpréter ces résultats dans le contexte du problème : que représentent ces nombres au début et à la fin de la saison ?
• Question 2 : Comme dans l'exercice précédent, on calcule la fonction dérivée \( N'(t) \) et on vérifie sa forme factorisée \( N'(t) = -1,5t(t - 8) \).
• Question 3 : On dresse le tableau de variations de \( N \) sur l'intervalle d'étude \( [0; 12] \) pour comprendre l'évolution du nombre d'emplacements occupés au cours de la saison.
• Question 4 : C'est une question d'optimisation. Le tableau de variations permet d'identifier la semaine où l'occupation est maximale. Il faut ensuite comparer cette valeur maximale à la capacité totale du camping pour déterminer s'il est complet.
• Question 5 : La dernière question demande de calculer \( N'(2) \) et d'interpréter le résultat. Il s'agit de comprendre que le nombre dérivé représente ici une vitesse, un taux de variation instantané : la vitesse à laquelle le nombre d'emplacements occupés augmente à la fin de la deuxième semaine.

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