Contrôle Corrigé sur la Dérivation : Sujet pour Première Technologique

Découvrez notre sujet de contrôle complet sur le chapitre de la dérivation, spécialement conçu pour les élèves de Première Technologique. Ce devoir d'une durée d'1h30, sans calculatrice, couvre les aspects essentiels de la dérivation locale et globale. Il constitue une excellente ressource pour s'entraîner et valider ses acquis. Chaque exercice est analysé pour vous aider à comprendre les compétences évaluées, des calculs de base aux problèmes d'application concrets. Mots-clés : contrôle de maths, première technologique, dérivation, fonction dérivée, équation de la tangente, taux de variation, sujet corrigé, Alilee.ac.

Exercice 1 : Dérivées en Rafale (Compétences de base)

Cet exercice est un questionnaire à réponses courtes visant à évaluer la maîtrise des formules de dérivation des fonctions polynômes et l'interprétation du nombre dérivé.

• Question 1 & 2 : Calcul de la fonction dérivée de polynômes simples comme \(f(x) = x^3 - 4x + 7\) et \(g(x) = -2x^2 + 5x\). Il s'agit d'appliquer directement les formules du cours.
• Question 3 : Calcul du nombre dérivé en un point. Pour la fonction \(h(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2\), il faut d'abord trouver \(h'(x)\) puis calculer sa valeur pour \(x=2\).
• Question 4 : Interprétation géométrique du nombre dérivé. On donne deux points de la tangente à la courbe d'une fonction \(k\) au point d'abscisse 1. Il faut en déduire la valeur de \(k'(1)\) en calculant le coefficient directeur de cette droite.
• Question 5 : Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction. À partir de l'expression de la dérivée \(m'(x) = (x-1)(x-5)\), il faut déterminer si la fonction \(m\) est croissante ou décroissante sur l'intervalle \([1; 5]\) en étudiant le signe du produit.

Exercice 2 : Trois Tangentes à Construire (Approche graphique)

Cet exercice se concentre sur l'interprétation graphique du nombre dérivé et la construction de tangentes.

• Question 1 : À partir de la courbe représentative d'une fonction \(f\) et des valeurs de nombres dérivés en trois points (\(f'(0)=1,5\), \(f'(1)=0\), \(f'(2)=-4,5\)), il est demandé de tracer les tangentes correspondantes. Cela implique de savoir qu'un nombre dérivé nul correspond à une tangente horizontale.
• Question 2 : Détermination de l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 0. Il faut appliquer la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) avec les valeurs données et lues sur le graphique.
• Question 3 : Vérification de l'appartenance d'un point à une droite. Une fois l'équation de la tangente trouvée, il s'agit de substituer les coordonnées du point donné pour vérifier si l'égalité est respectée.

Exercice 3 : La Tangente de Noé (Analyse d'erreurs)

Cet exercice original propose d'analyser et de corriger la copie d'un élève qui a commis plusieurs erreurs en cherchant l'équation d'une tangente. C'est un excellent moyen de renforcer sa propre compréhension.

• Question 1 & 2 : L'objectif est d'identifier deux erreurs distinctes dans le travail de l'élève : une erreur de calcul dans la fonction dérivée de \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5\) et une erreur dans la formule de l'équation de la tangente (confusion entre \(f(a)\) et \(f'(a)\)).
• Question 3 : Après avoir identifié les erreurs, il faut mener le calcul correctement pour trouver la bonne équation de la tangente.
• Question 4 : Cette question pousse à la réflexion sur les méthodes d'auto-vérification. On demande d'expliquer comment l'élève aurait pu se rendre compte de son erreur, notamment en vérifiant que le point de tangence \(A(a, f(a))\) appartient bien à la droite qu'il a trouvée.

Exercice 4 : La Traversée de la Scène (Problème de synthèse)

Cet exercice est un problème concret qui modélise la position d'une danseuse en fonction du temps par une fonction polynôme \(d(t) = -0,25t^3 + 1,5t^2\). Il mobilise toutes les notions du chapitre.

• Question 1 & 2 : Calcul de la vitesse moyenne de la danseuse, qui correspond au taux de variation de la fonction position \(d(t)\) sur différents intervalles de temps.
• Question 3 : Introduction à la notion de vitesse instantanée. Un tableau montre que le taux de variation \(\frac{d(2+h)-d(2)}{h}\) se rapproche d'une valeur limite (3) lorsque \(h\) tend vers 0. Il faut interpréter cette valeur comme étant la vitesse instantanée à \(t=2\), c'est-à-dire le nombre dérivé \(d'(2)\).
• Question 4 : Il s'agit d'une question ouverte d'optimisation. Pour vérifier l'affirmation d'une chorégraphe, il faut étudier la fonction vitesse \(v(t) = d'(t)\), trouver son maximum en étudiant ses variations, et comparer ce maximum à la valeur de 3 m/s. Cela revient à trouver l'extremum d'une fonction polynôme du second degré.