Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Première technologique est entièrement dédié au chapitre des Probabilités Conditionnelles. D'une durée indicative de 1h30, il évalue la capacité des élèves à modéliser des situations concrètes, à utiliser les outils appropriés comme les arbres pondérés et les tableaux croisés, et à interpréter les résultats obtenus. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque exercice, en mettant l'accent sur les méthodes et les raisonnements clés.

Exercice 1 – Les réservations de l'hôtel du Port

Cet exercice classique de probabilités conditionnelles porte sur la gestion des réservations d'un hôtel. Les informations sont données en pourcentages, ce qui mène naturellement à l'utilisation d'un arbre de probabilités.

• Question 1 : La première étape consiste à modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. On commence par un premier niveau de branches pour les canaux de réservation (E, S, T) avec leurs probabilités respectives, puis un second niveau pour l'événement "Annulation" (A) et son contraire, conditionnellement à chaque canal.
• Question 2 : Il s'agit de calculer la probabilité de l'intersection de deux événements, \(P(E \cap A)\), qui correspond à la probabilité qu'une réservation soit faite via la plateforme ET soit annulée. On l'obtient en multipliant les probabilités le long de la branche correspondante. L'interprétation consiste à traduire ce chiffre en une phrase concrète : "Il y a X% de chances qu'une réservation choisie au hasard provienne de la plateforme et soit annulée."
• Question 3 : Pour calculer la probabilité totale qu'une réservation soit annulée, \(P(A)\), on applique la formule des probabilités totales. On additionne les probabilités de tous les chemins menant à l'événement A : \(P(A) = P(E \cap A) + P(S \cap A) + P(T \cap A)\).
• Question 4 : Cette question est un exemple typique d'inversion de la condition, ou de calcul de "probabilité des causes". On cherche \(P_A(E)\), la probabilité que la réservation vienne de la plateforme SACHANT qu'elle a été annulée. On utilise la formule des probabilités conditionnelles : \(P_A(E) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}\).
• Question 5 : Pour tester l'indépendance des événements S et A, on compare \(P(S \cap A)\) avec le produit \(P(S) \times P(A)\). Si les deux valeurs sont égales, les événements sont indépendants ; sinon, ils sont dépendants.
• Question 6 : Cette question propose une nouvelle situation avec des probabilités modifiées. Elle permet de vérifier la bonne application des concepts vus précédemment, notamment le recalcul de la probabilité totale d'annulation, et d'interpréter ce nouveau résultat en termes de fréquence sur un grand nombre de réservations.

Exercice 2 – Trois soirées en terrasse

Cet exercice aborde la notion de répétition d'expériences identiques et indépendantes. Le fait que le temps d'un soir ne dépende pas des autres est l'indice clé qui nous oriente vers un schéma de Bernoulli.

La situation peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres \(n=3\) (le nombre de répétitions, ici les trois soirs) et \(p=0.6\) (la probabilité du succès "dîner dehors"). On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de dîners dehors. L'affirmation de l'organisateur est que \(P(X \ge 2) > \frac{2}{3}\). Pour le vérifier, il faut calculer : \( P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) \). Le calcul peut se faire à l'aide d'un arbre (avec 3 niveaux) ou en utilisant la formule de la loi binomiale. On compare ensuite le résultat à \(\frac{2}{3}\) pour conclure.

Exercice 3 – Le dessert au restaurant de l'hôtel

Ce dernier exercice mélange probabilités et lecture d'un programme informatique en Python. Il vise à évaluer la capacité à extraire des informations et à les organiser pour en déduire des probabilités.

• Question 1 : L'analyse du script Python montre qu'il sert à compter les effectifs de quatre catégories de clients, en fonction de deux critères (logé à l'hôtel ou non, a pris un dessert ou non). Il s'agit de comprendre la logique des conditions pour compléter le code et interpréter les variables.
• Question 2 : À partir des effectifs donnés par le programme, la première étape est de construire un tableau croisé d'effectifs (ou tableau à double entrée). Ce tableau est un outil fondamental pour visualiser la répartition des 160 clients.
  • On calcule ensuite des probabilités conditionnelles directement depuis le tableau. Par exemple, pour calculer \(P_L(D)\) (la probabilité qu'un client prenne un dessert sachant qu'il est logé à l'hôtel), on divise le nombre de clients logés ayant pris un dessert par le nombre total de clients logés.
  • La dernière question est une question d'interprétation et de prise de décision. En comparant \(P_L(D)\) et \(P_{\bar{L}}(D)\), on peut conseiller le chef sur la clientèle la plus amatrice de desserts et donc à cibler en priorité.