3. Trouver la mesure principale d'un angle

Introduction

Dans cette leçon, nous allons aborder un point complexe : positionner sur le cercle des points dont la valeur est plus grande que \(\pi\), c'est-à-dire des grands angles ou des fractions importantes. Pour cela, nous devons passer par la mesure principale.

Comprendre la mesure principale

Prenons par exemple \(51\pi\). Si je veux placer \(51\pi\) sur mon cercle, je sais que j'ai \(\pi\) ici. Donc, pour faire \(51\pi\), je vais faire un, deux, trois, quatre, cinq tours et ainsi de suite. Le nombre de fois où je tourne n'est pas important pour positionner le point. Donc, mon \(51\pi\) est exactement au même endroit que \(\pi\). La mesure principale d'un angle orienté est l'angle que je peux trouver qui m'amène au même point sans franchir le cercle. Par exemple, pour \(51\pi\), pour arriver ici, je peux choisir de faire effectivement 25 fois le tour puis d'arriver là, mais j'aurais franchi le cercle 25 fois. Ou alors, je peux dire je pars ici et je fais juste \(\pi\) ce qui m'amène au pied du cercle mais je n'ai pas franchi.

Exemples de calcul de mesure principale

Prenons \(51.51\pi\). Cette notation signifie que c'est un certain nombre de fois mon tour complet (c'est-à-dire un certain nombre de fois \(2\pi\)) plus une fois que j'ai fini mon tour complet, ma mesure principale de plus quelque chose d'autre qui est forcément compris soit entre zéro et \(\pi\), soit entre \(-\pi\) et zéro. Donc, la mesure principale de \(51\pi\) est \(\pi\). Prenons un autre exemple, \(58/3\pi\). Pour pouvoir placer \(58/3\pi\), il faut que je trouve sa mesure principale. Pour trouver sa mesure principale, je veux dire que \(58/3\pi\) c'est un certain nombre de fois mon tour complet (c'est-à-dire un certain nombre de fois \(2\pi\)) plus ma mesure principale. Donc, la mesure principale de \(58/3\pi\) est \(2\pi/3\). Enfin, prenons \(19/6\pi\). Pour trouver sa mesure principale, je vais dire que \(19/6\pi\) c'est un certain nombre de fois mon tour complet (c'est-à-dire un certain nombre de fois \(2\pi\)) plus ma mesure principale. Donc, la mesure principale de \(19/6\pi\) est \(-5\pi/6\).

Conclusion

Cette notion de mesure principale est fondamentale pour positionner les points, pour savoir si deux points arrivent au même endroit, pour calculer des valeurs de sinus et de cosinus, et pour résoudre des équations. Si vous ne maîtrisez pas cette notion, vous aurez du mal à progresser dans vos études de mathématiques.