Introduction
Dans cet exercice, nous allons travailler sur les angles cosinus ou les transformations géométriques. Il existe plusieurs manières de les appliquer. Par exemple, nous pouvons avoir des expressions comme \(\sin(x + 6)\), \(\cos(\pi - x)\), \(\exp(x + 6)\), etc. L'objectif est de transformer ces expressions en formes plus simples et similaires.
Deux méthodes de résolution
Il y a deux écoles pour résoudre ces exercices. La première consiste à apprendre un tableau par cœur. C'est une méthode qui peut être compliquée et qui ne me plaît pas trop. Je vais plutôt vous montrer une technique qui vous permet de retrouver les résultats plus facilement.
Technique de résolution
La technique est la suivante : vous commencez par dessiner un cercle trigonométrique. Ensuite, vous choisissez un petit angle que nous allons appeler \(x\). Vous allez ensuite faire apparaître son cosinus et son sinus avec des flèches colorées. Par exemple, le côté vert représente le sinus et le côté rouge représente le cosinus de notre angle \(x\). Maintenant, nous allons faire apparaître le sinus et le cosinus de ces angles et vous allez voir que les résultats sautent aux yeux.
Par exemple, pour le sinus de \(\pi - x\), nous positionnons \(\pi\) et nous soustrayons \(x\). Ensuite, nous faisons apparaître le sinus de \(\pi - x\), c'est-à-dire cette valeur. Nous nous demandons à quoi cette valeur nous fait penser. Elle nous fait penser au sinus de \(x\). Donc, en fait, \(\sin(\pi - x)\) est tout simplement égal à \(\sin(x)\).
De même, pour le cosinus de \(\pi/2 - x\), nous positionnons \(\pi/2\) et nous soustrayons \(x\). Nous allons chercher son cosinus, c'est-à-dire cette longueur. Nous nous demandons à quoi cette longueur nous fait penser. Elle nous fait penser au sinus de \(x\). Donc, en fait, \(\cos(\pi/2 - x)\) est égal à \(\sin(x)\).
Conclusion
En résumé, cette technique vous permet de simplifier rapidement des expressions trigonométriques. Il est important de noter que ces exercices peuvent avoir différentes formes. Parfois, au lieu de \(x\), on vous donne un angle spécifique et on vous demande de simplifier l'expression. Nous verrons cela plus tard. En attendant, je vous encourage à pratiquer cette technique et à vous familiariser avec la périodicité d'une fonction. Bonne chance !