Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé d'une évaluation sur les automatismes pour le niveau Première Spécialité en mathématiques. Ce contrôle, sous forme de QCM de 30 minutes sans calculatrice, vise à vérifier la maîtrise des compétences fondamentales acquises en Seconde et en début de Première. Il couvre un large spectre de notions, allant de l'analyse de fonctions aux probabilités, en passant par les statistiques et les pourcentages. C'est un excellent outil pour s'entraîner et consolider ses bases.

Ce sujet de maths corrigé est idéal pour les révisions. Chaque question est analysée pour identifier la compétence évaluée, et une solution détaillée est fournie.

Question 1 : Lecture d'un tableau de signes

La première question s'appuie sur la lecture d'un tableau de signes d'une fonction \( f \) pour résoudre l'inéquation \( f(x) \geq 0 \).

• Le tableau indique que \( f(x) \) est positive (signe '+') entre \( x = -3 \) et \( x = 2 \).
• L'inéquation étant \( f(x) \geq 0 \), on inclut les valeurs où la fonction s'annule, c'est-à-dire \( x = -3 \) et \( x = 2 \).
• L'ensemble des solutions est donc l'intervalle fermé \( [-3; 2] \).
• Réponse b)

Question 2 : Détermination d'une équation réduite de droite

Il est demandé de trouver l'équation réduite de la forme \( y = mx + p \) d'une droite tracée dans un repère.

• L'ordonnée à l'origine \( p \) est la valeur de \( y \) lorsque \( x=0 \). Graphiquement, la droite coupe l'axe des ordonnées en \( y = -1 \), donc \( p = -1 \).
• Le coefficient directeur \( m \) se détermine en choisissant deux points sur la droite. Prenons le point \( (0, -1) \) et le point \( (2, 0) \). La pente est \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0 - (-1)}{2 - 0} = \frac{1}{2} = 0,5 \).
• L'équation de la droite est donc \( y = 0,5x - 1 \).
• Réponse c)

Question 3 : Calcul de probabilité avec un arbre pondéré

Cette question évalue la capacité à utiliser un arbre de probabilités pour calculer la probabilité d'une intersection d'événements, \( P(A \cap B) \).

• La probabilité de l'intersection \( A \cap B \) est obtenue en multipliant les probabilités le long de la branche qui passe par \( A \) puis par \( B \).
• D'après l'arbre, \( P(A) = 0,4 \) et la probabilité conditionnelle \( P_A(B) = 0,2 \).
• On a donc \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0,4 \times 0,2 = 0,08 \).
• Réponse b)

Question 4 : Lecture d'un diagramme en bâtons et calcul d'étendue

L'exercice consiste à lire un diagramme en bâtons représentant des notes et à calculer l'étendue de cette série statistique.

• L'étendue est la différence entre la valeur la plus élevée et la valeur la plus basse de la série.
• D'après le graphique, la note la plus haute est 12 et la note la plus basse est 8.
• L'étendue est donc \( 12 - 8 = 4 \).
• Réponse a)

Question 5 : Lecture d'une boîte à moustaches

Il s'agit d'interpréter un diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) pour déterminer l'écart interquartile.

• L'écart interquartile est la différence entre le troisième quartile (\( Q_3 \)) et le premier quartile (\( Q_1 \)).
• Sur le diagramme, \( Q_1 \) est le début de la boîte, soit \( Q_1 = 3 \).
• \( Q_3 \) est la fin de la boîte, soit \( Q_3 = 8 \).
• L'écart interquartile est \( Q_3 - Q_1 = 8 - 3 = 5 \).
• Réponse b)

Question 6 : Expression d'une fonction polynôme du second degré

La question demande de retrouver l'expression algébrique d'une fonction du second degré \( f \) à partir de sa représentation graphique (une parabole).

• La parabole est tournée vers le bas, donc le coefficient de \( x^2 \) est négatif.
• Le sommet de la parabole est le point \( (0, 4) \). La forme canonique est donc \( f(x) = a(x-0)^2 + 4 = ax^2 + 4 \).
• La courbe passe par le point \( (2, 0) \). On a donc \( f(2) = 0 \), soit \( a(2)^2 + 4 = 0 \), ce qui donne \( 4a = -4 \) et \( a = -1 \).
• L'expression de la fonction est \( f(x) = -x^2 + 4 \).
• Réponse d)

Question 7 : Interprétation d'un tableau de variations

À partir du tableau de variations d'une fonction \( g \), il faut identifier une affirmation correcte.

• Sur l'intervalle \( [0, 4] \), la fonction \( g \) est strictement décroissante.
• Puisque \( 2 \) et \( 3 \) appartiennent à cet intervalle et que \( 2 < 3 \), on peut en déduire que \( g(2) > g(3) \).
• L'affirmation c) est donc correcte. Les autres sont fausses (le maximum est 3, l'équation \( g(x)=0 \) a une solution sur \( [-5, 0] \), et \( g(-2) \) n'est pas donné).
• Réponse c)

Question 8 : Application des pourcentages d'évolution

Cet exercice porte sur les évolutions successives et le calcul du taux d'évolution réciproque.

• Une augmentation de 100% correspond à un coefficient multiplicateur de \( 1 + \frac{100}{100} = 2 \). Le prix est doublé.
• Pour revenir au prix initial, il faut appliquer le coefficient multiplicateur réciproque, soit \( \frac{1}{2} = 0,5 \).
• Un coefficient de 0,5 correspond à un taux d'évolution de \( (0,5 - 1) \times 100\% = -50\% \).
• Il faut donc appliquer une baisse de 50%.
• Réponse b)

Question 9 : Calcul de probabilité conditionnelle

La question demande de calculer une probabilité conditionnelle à partir de données présentées dans un tableau à double entrée.

• On cherche la probabilité qu'une élève fasse du sport, sachant que c'est une fille : \( P(\text{Sport} | \text{Fille}) \).
• L'univers est restreint aux filles, qui sont au nombre de 50.
• Parmi ces 50 filles, 20 font du sport.
• La probabilité est donc de \( \frac{20}{50} \).
• Réponse c)

Question 10 : Résolution d'une équation du second degré simple

Il s'agit de résoudre une équation de la forme \( x^2 = a \) dans l'ensemble des réels \( \mathbb{R} \).

• L'équation est \( x^2 = 7 \).
• Puisque \( 7 > 0 \), l'équation admet deux solutions réelles distinctes.
• Les solutions sont \( x = \sqrt{7} \) et \( x = -\sqrt{7} \).
• Réponse b)

Question 11 : Lecture graphique d'antécédent

Cette question teste la capacité à lire graphiquement l'antécédent d'un nombre par une fonction.

• On cherche la valeur de \( x \) telle que \( h(x) = -1 \).
• On trace la droite horizontale d'équation \( y = -1 \).
• On observe que cette droite ne coupe jamais la courbe représentative de la fonction \( h \). Le minimum de la fonction est supérieur à -1.
• Il n'y a donc pas d'antécédent de -1 par la fonction \( h \).
• Réponse d)

Question 12 : Interprétation d'un diagramme circulaire

La dernière question consiste à interpréter un diagramme circulaire (camembert) pour déterminer une proportion.

• La zone A représente un quart du disque total.
• Un disque complet correspond à 100% du budget.
• Un quart de 100% est \( \frac{1}{4} \times 100\% = 25\% \).
• Réponse a)