3. Fonction dérivée de fonctions composées

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour le premier bout compliqué de ce chapitre, c'est-à-dire les dérivées et les fonctions composées. On y va !

Dérivation d'une fonction composée

Pour dériver une fonction composée, le mieux est d'en parler avec un exemple. Prenons par exemple \(g(x) = \sqrt{3x-2}\). Le problème c'est que vous savez dériver \(\sqrt{x}\), aucun problème, vous connaissez la formule. Vous savez dériver \(3x -2\), aucun problème, vous connaissez la formule. Mais qu'en est-il quand on vous demande de dériver \(\sqrt{3x-2}\) ? Alors ce que je propose, c'est de voir avec un exemple et une formule qui s'affiche sur la droite. Cette formule, quand vous la regardez comme ça, n'est pas très claire. Mais en fait, ce qu'elle dit, c'est que quand je fais la dérivée d'une fonction qui s'applique à \(ax+b\), alors je vais dire que c'est le coefficient directeur de ma fonction à \(ax+b\), la fonction dérivée en \(x\). Si vous n'avez rien compris, c'est tout à fait normal. Donc je vais vous expliquer la méthode et vous allez voir que ça va venir tout seul.

Application de la méthode

Première étape, il faut trouver \(ax + b\) là-dedans. Donc ici, dans l'exemple que je vous ai donné, \(\sqrt{3x-2}\), le \(ax + b\) est plutôt évident, c'est \(3x-2\). Donc vous pouvez dire que votre \(g(x) = f(3x-2)\). Mais là vient la grande question, qu'est-ce que c'est que ce \(f\) dont je parle ? Il va falloir que je trouve la fonction \(f\) telle que \(\sqrt{3x-2} = f(3x-2)\). Et bien c'est pas compliqué, \(f\) c'est \(\sqrt{x}\). Pourquoi ? Parce que si je prends cette fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) et que je m'amuse à remplacer les \(x\) qui sont là par \(3x-2\), j'obtiens \(\sqrt{3x-2}\). Donc j'ai bien \(f(3x-2)\). Une fois que j'ai trouvé \(f\), c'est ça le vrai point difficile. Franchement, c'est ça. Une fois que vous avez trouvé \(f\), c'est tout tranquille. \(f'(x)\), la dérivée de \(\sqrt{x}\), vous la connaissez par coeur, \(1 / (2\sqrt{x})\). Et vous n'avez plus qu'à appliquer la formule. Du coup, \(g'(x) = a \cdot f'(ax+b)\). Donc mon \(a\), c'est le coefficient directeur ici, donc c'est \(3\). \(f'(ax+b)\), donc cette fonction-là appliquée non pas à \(x\) mais à \(ax+b\), donc à la place de \(x\), je vais mettre \(3x-2\), ça fait \(1 / (2\sqrt{3x-2})\). Et je peux pousser le vice jusqu'à tout mettre sur la même fraction, ça me fait \(3 / (2\sqrt{3x-2})\). Et c'est dans la poche ! Il faut s'entraîner, il n'y a pas de miracle. Quand vous le faites dix fois, jusqu'à ce que ça rentre, le jour du contrôle, vous arrivez à le faire complètement naturellement. Donc essayez de vous entraîner là-dessus.

Exercice supplémentaire

Alors rebelote, je me demande quel est mon \(ax+b\) ici. Le \(ax+b\) vient de manière plutôt évidente, c'est \(5x-2\). Donc j'ai \(h(x) = f(5x-2)\). Sauf que, qu'est-ce que c'est que cette fonction \(f\) dont tu parles ? C'est une fonction pour laquelle, quand je remplace \(x\) par \(5x-2\), j'obtiens \(3/(5x-2)\). C'est tout simplement \(3/x\). Parce que si je prends \(3/x\) et je remplace \(x\) par \(5x-2\), je me retrouve avec \(3/(5x-2)\). \(f'(x)\), une fois que j'ai trouvé la fonction \(f\), la dérivée \(f'(x)\) est \(-3/x^2\). Et j'applique la formule, \(h'(x) = a \cdot f'(ax+b)\). Donc mon \(a\) c'est \(5\), et \(f'(ax+b)\) donc cette fonction-là appliquée non pas à \(x\) mais à \(ax+b\), donc à la place de \(x\), je mets \(5x-2\), ça fait \(-3/(5x-2)^2\). Et là je multiplie mon \(5\) par \(-3\), ça fait \(-15/(5x-2)^2\). Et encore une fois, c'est dans la poche ! La vraie difficulté dans cet exercice est premièrement d'identifier qu'on est face à une fonction composée en \(ax+b\) et deuxièmement de trouver cette fonction. C'est ça qui est dur, de dire "mais cette fonction \(f(ax+b)\), qu'est-ce qu'elle vaut ? Qu'est-ce que c'est que la fonction \(f\) ?". Une fois que vous avez trouvé \(f\), c'est tout tranquille. Alors entraînez-vous, et bon courage pour le contrôle !