Analyse et Corrigé du Contrôle de Maths 3ème sur les Triangles Semblables

Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau 3ème, centré sur le chapitre des triangles semblables. Ce sujet, d'une durée de 30 minutes et sans calculatrice, est une excellente préparation au brevet des collèges. Il évalue des compétences clés telles que le raisonnement, le calcul et la communication. Nous allons décortiquer chaque exercice pour vous aider à maîtriser les notions de triangles semblables, de triangles égaux, de coefficient d'agrandissement et à appliquer ces concepts dans un problème concret. Ce sujet de maths est idéal pour les révisions.

Exercice 1 : Définitions et correspondances

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la maîtrise des définitions fondamentales du chapitre. Il est essentiel de connaître ces bases pour aborder des problèmes plus complexes.

• Question a) : On demande de compléter les définitions des triangles semblables et des triangles égaux.
  • Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Par exemple, si on a deux triangles ABC et DEF, ils sont semblables si \( \angle A = \angle D, \angle B = \angle E \) et \( \angle C = \angle F \) .
  • Deux triangles sont égaux (ou isométriques) lorsqu'ils ont leurs côtés deux à deux de même longueur. Si \( AB = DE, BC = EF \) et \( AC = DF \), alors les triangles ABC et DEF sont égaux.
• Question b) : À partir des égalités d'angles données (\( \angle ABC = \angle EFD, \angle ACB = \angle EDF, \angle BAC = \angle FED \)), il faut identifier les paires de côtés correspondants. La correspondance se fait entre les sommets des angles égaux : A correspond à F, B correspond à E, et C correspond à D. Les côtés correspondants sont donc : [AB] et [FE], [BC] et [ED], et [AC] et [FD].
• Question c) : L'affirmation de Yanis « Deux triangles qui ont un angle de même mesure sont toujours semblables » est fausse. Pour que deux triangles soient semblables, il faut qu'ils aient au moins deux paires d'angles de même mesure (le troisième angle sera alors automatiquement égal). Un seul angle en commun ne garantit pas la similitude.

Exercice 2 : Reconnaître des triangles

Cet exercice pratique demande d'appliquer les définitions pour déterminer la nature de deux paires de triangles à partir de leurs mesures d'angles ou de côtés.

• Situation 1 : On compare les triangles ABC et DEF.
  • On observe que les deux triangles ont les mêmes mesures d'angles : \( 70^\circ, 48^\circ, 62^\circ \) . Ils sont donc bien semblables.
  • Cependant, leurs côtés ne sont pas de même longueur (par exemple \( AB = 4 \) cm et \( DE = 6 \) cm). Ils ne sont donc pas égaux.
• Situation 2 : On compare les triangles MNP et RST.
  • On analyse les longueurs des côtés : MN = 5, NP = 7, PM = 8 et RS = 7, ST = 8, TR = 5. On remarque que les deux triangles ont exactement les mêmes longueurs de côtés (\( MN = TR, NP = RS, PM = ST \)).
  • Ils sont donc égaux (cas d'isométrie côté-côté-côté).
  • Puisque tous les triangles égaux sont également des triangles semblables avec un rapport de 1, ils sont aussi semblables. La réponse la plus précise est "égaux", ce qui implique la similitude.

Exercice 3 : Fabrication de plaques (type brevet)

Ce dernier exercice est un problème complet qui mobilise toutes les compétences du chapitre dans un contexte concret, typique des sujets de brevet. Il est précisé que les triangles ABC et DEF sont semblables.

• Question 1 : Pour trouver les sommets correspondants et le coefficient d'agrandissement, on doit comparer les rapports des longueurs des côtés. Il faut ordonner les côtés par taille :
  • Triangle ABC : \( AB = 8, AC = 10, BC = 12 \)
  • Triangle DEF : \( DE = 12, DF = 15, EF = 18 \)
  Le coefficient \( k \) est le rapport des côtés correspondants : \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{12}{8} = 1.5 \), \( k = \frac{DF}{AC} = \frac{15}{10} = 1.5 \) et \( k = \frac{EF}{BC} = \frac{18}{12} = 1.5 \) . Le coefficient d'agrandissement est de 1,5. Les sommets correspondants sont A et D, B et E, C et F.
• Question 2 : On sait que dans des triangles semblables, les angles correspondants sont égaux. Puisque le sommet B correspond au sommet E, on a \( \angle DEF = \angle ABC = 63^\circ \) .
• Question 3 : La plaque GHI doit être égale à la plaque ABC. Cela signifie que leurs côtés doivent être de même longueur. On sait que \( AB=8, AC=10, BC=12 \) et on a \( GH=10, GI=12 \) pour le triangle GHI. Par correspondance, on peut déduire que \( HI \) doit être égal à \( AB \), donc \( HI = 8 \) cm.
• Question 4 : Cette question sort du cadre de la géométrie pour tester le calcul avec les puissances et l'écriture scientifique.
  • Masse totale = masse d'une plaque \( \times \) nombre de plaques.
  • Masse totale = \( (3.6 \times 10^2) \times (2.5 \times 10^3) = (3.6 \times 2.5) \times (10^2 \times 10^3) \) g.
  • Le calcul donne \( 9 \times 10^5 \) g. C'est l'écriture scientifique en grammes.
  • Pour convertir en kilogrammes, on sait que \( 1 \) kg = \( 1000 \) g = \( 10^3 \) g. Donc on divise par \( 10^3 \) : \( \frac{9 \times 10^5}{10^3} = 9 \times 10^{5-3} = 9 \times 10^2 \) kg, soit 900 kg.