Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour le niveau Terminale technologique, axé sur le chapitre des statistiques à deux variables. Ce document est un excellent outil de révision, abordant les concepts clés d'ajustement affine, de changement de variable et d'interprétation de modèles statistiques. L'épreuve, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, teste à la fois les automatismes et la capacité de raisonnement. Ce contrôle corrigé vous aidera à vous préparer efficacement aux évaluations.

Exercice 1 : Automatismes et changements de variable

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la maîtrise de compétences fondamentales. Il débute par la résolution d'une équation simple du premier degré, du type \(3x - 7 = 0,5\). Ensuite, il teste la capacité à lire graphiquement l'équation réduite d'une droite. La troisième question fait appel aux notions de proportionnalité en demandant de convertir un angle de secteur circulaire (72°) en pourcentage de l'effectif total. Les deux dernières questions introduisent les changements de variable, un concept central du chapitre :

• Calculer la valeur de \(y\) dans un modèle d'ajustement logarithmique de la forme \(\log y = 2x + 1\) pour une valeur donnée de \(x\).
• Exprimer \(y\) en fonction de \(x\) à partir d'un ajustement obtenu après un changement de variable quadratique \(u = x^2\), menant à l'équation \(y = 3u - 2\).

Exercice 2 : Changements de variable en questions (Vrai ou Faux)

Cet exercice approfondit la compréhension des modèles d'ajustement et de la méthode des moindres carrés à travers une série d'affirmations à justifier. Chaque question demande un raisonnement précis :

• Interpréter un ajustement exponentiel : à partir d'une relation \(\log y = 0,301x + 2\), il faut déterminer l'effet d'une augmentation de \(x\) sur la variable \(y\), en utilisant l'approximation \(10^{0,301} \approx 2\).
• Comprendre la méthode des moindres carrés : comparer la qualité de deux ajustements affines pour un nuage de trois points. Il s'agit de comprendre que la droite qui minimise la somme des carrés des résidus n'est pas forcément celle qui passe par le plus de points.
• Tester un changement de variable : pour une série de points vérifiant \(y = \frac{5}{x} + 2\), l'affirmation propose un changement de variable \(u = x^2\) et prétend que les points \((u; y)\) sont alignés. Une vérification par le calcul est nécessaire pour infirmer ou confirmer.
• Analyser un modèle : pour un ajustement de la forme \(y = 300u + 1\) avec \(u = \frac{1}{x}\), il faut évaluer l'impact d'un doublement de \(x\) sur la variable \(y\).

Exercice 3 : La corde d'un monocorde

Ce problème concret et guidé met en application l'ensemble des notions du chapitre dans un contexte de culture musicale. On étudie la relation entre la longueur vibrante \(L\) d'une corde et la fréquence \(f\) du son émis. Le but est de linéariser cette relation grâce au changement de variable \(u = \frac{1}{L}\).

Les questions s'enchaînent logiquement :

1. Calculer les valeurs de la nouvelle variable \(u\) et compléter un tableau de données.
2. Représenter graphiquement le nuage de points \((u, f)\) pour visualiser la relation linéaire.
3. Utiliser le modèle d'ajustement affine proposé, \(f = 110u\), pour le tracer et calculer l'écart (résidu) entre la valeur mesurée et la valeur modélisée pour un point donné.
4. Exprimer la fréquence \(f\) en fonction de la longueur initiale \(L\) en inversant le changement de variable.
5. Utiliser le modèle pour résoudre un problème : trouver la longueur de corde nécessaire pour obtenir une fréquence de 330 Hz.
6. Confronter le modèle mathématique à une affirmation issue du solfège (« diviser la longueur par deux double la fréquence ») et la valider par le calcul.
7. Exercer un regard critique sur le modèle en analysant sa validité par rapport au domaine de définition imposé par le contexte physique de l'instrument.

Ce sujet de maths type bac techno est donc un excellent entraînement pour maîtriser les ajustements par changement de variable.