Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale technologique (STL, STI2D, etc.) porte sur le chapitre des statistiques à deux variables. Il évalue la capacité des élèves à manipuler différents types d'ajustements (affine, exponentiel) et à utiliser les changements de variable pour linéariser un nuage de points. Ce corrigé détaillé vous guidera à travers chaque exercice, en mettant l'accent sur la méthode et l'interprétation des résultats.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale technologique, statistiques à deux variables, ajustement affine, régression linéaire, changement de variable, modèle exponentiel, moindres carrés, calculatrice.

Exercice 1 – Aller et retour entre \(y\) et \(\log y\)

Cet exercice d'introduction teste la compréhension fondamentale du lien entre un ajustement affine sur le logarithme des données et un modèle exponentiel sur les données originales.

• Question 1 : On part d'un ajustement affine \(z = 0,5x + 2\) où \(z = \log y\). Il faut retrouver le modèle exponentiel correspondant pour \(y\) en fonction de \(x\), sous la forme \(y = k \times q^x\). La démarche est la suivante :
  Si \(\log y = 0,5x + 2\), alors \(y = 10^{0,5x + 2}\).
  En utilisant les propriétés des puissances, on sépare l'expression : \(y = 10^{0,5x} \times 10^2 = 100 \times (10^{0,5})^x\).
  On identifie alors \(k = 100\) et \(q = 10^{0,5} \approx 3,162\).
• Question 2 : C'est le processus inverse. À partir d'un modèle exponentiel donné, \(y = 3 \times 2^x\), on doit montrer que \(z = \log y\) suit un modèle affine \(z = mx + p\).
  On applique la fonction logarithme décimal : \(z = \log(3 \times 2^x)\).
  Grâce aux propriétés du logarithme (\(\log(ab) = \log a + \log b\) et \(\log(a^n) = n \log a\)), on obtient :
  \(z = \log(3) + \log(2^x) = \log(3) + x \log(2)\).
  On identifie la pente \(m = \log(2) \approx 0,301\) et l'ordonnée à l'origine \(p = \log(3) \approx 0,477\).

Exercice 2 – La taille et la masse des enfants suivis en PMI

Cet exercice complet est une mise en situation concrète de l'ajustement statistique, de l'utilisation d'un changement de variable et de l'analyse critique d'un modèle.

• Partie A : On évalue un premier modèle, un ajustement affine simple de la masse \(m\) en fonction de la taille \(t\) : \(m = 32,7t – 17,2\). La question porte sur l'extrapolation : on utilise le modèle pour une taille (0,50 m) qui est en dehors de l'intervalle des données initiales. Le résultat obtenu doit être analysé de manière critique (une masse négative ou très faible pour un nouveau-né indiquerait que le modèle n'est pas valide dans cette zone).
• Partie B : Face aux limites du modèle affine, on introduit un changement de variable pour tester une autre hypothèse : \(u = t^2\). Cette transformation vise à obtenir un nuage de points \((u_i, m_i)\) qui soit mieux aligné. Les élèves doivent :
  1. Calculer les nouvelles valeurs de la variable \(u\).
  2. Représenter graphiquement le nouveau nuage de points.
  3. Utiliser la calculatrice pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement de \(m\) en \(u\) par la méthode des moindres carrés.
• Partie C : On exploite le nouveau modèle \(m = 15,4u\).
  En remplaçant \(u\) par \(t^2\), on obtient le modèle final : \(m = 15,4t^2\). Ce modèle est ensuite utilisé pour faire de nouvelles prédictions et est interprété dans le contexte de l'Indice de Masse Corporelle (IMC), défini par \(IMC = \frac{m}{t^2}\). Le modèle suggère un IMC constant égal à 15,4 pour les enfants de la plage d'âge étudiée. La validité de l'extrapolation est à nouveau questionnée pour des tailles plus grandes (adolescente).

Exercice 3 – Ce que vaut une citadine d'occasion

Basé sur deux documents, cet exercice évalue la capacité à extraire des informations, à déterminer l'équation d'une droite et à valider un modèle exponentiel.

• Question 1 : Il s'agit de calculer des rapports de prix pour des années successives afin de vérifier si le coefficient multiplicateur est à peu près constant, ce qui est la caractéristique d'une évolution exponentielle (ou d'une suite géométrique).
• Question 2 : Une compétence algébrique classique est testée : déterminer l'équation réduite de la droite \((AB)\) passant par deux points connus \(A(1; 4,20)\) et \(B(8; 3,78)\). On calcule d'abord le coefficient directeur \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\), puis l'ordonnée à l'origine \(p\).
• Question 3 : Comme dans l'exercice 1, il faut passer du modèle affine \(z = ma + p\) (avec \(z = \log P\)) au modèle exponentiel \(P \approx k \times q^a\). On vérifie ensuite la cohérence du facteur de décroissance \(q\) obtenu avec la "règle d'or" journalistique (une perte de 15% par an correspond à \(q = 1 - 0,15 = 0,85\)).
• Question 4 : Le modèle est utilisé pour \(a=0\) afin d'estimer le prix neuf du véhicule. Cette valeur est comparée au prix neuf réel, ce qui permet de discuter de la fiabilité du modèle pour la toute première année de vie du véhicule.

Exercice 4 – Une toile hors catalogue

Cette question ouverte valorise l'initiative, la démarche et le raisonnement. L'objectif est de juger de la cohérence d'un prix pour une toile sur mesure par rapport aux prix du catalogue.

La stratégie à adopter est la suivante :

1. Poser l'hypothèse que le prix \(y\) d'une toile est proportionnel à son aire, et non à la longueur de son côté \(c\).
2. Effectuer le changement de variable suggéré : \(u = c^2\) pour toutes les toiles du catalogue.
3. Entrer les paires de données \((u_i, y_i)\) dans la calculatrice et effectuer une régression linéaire pour obtenir un modèle de la forme \(y = au + b\).
4. Utiliser ce modèle pour calculer le prix théorique d'une toile de 120 cm de côté, c'est-à-dire pour \(u = 120^2 = 14400\).
5. Comparer le prix calculé avec le devis de 115 € et conclure sur la cohérence de l'offre du magasin.