Exercice 1 : Changement de Variable et Alignement de Points

Cet exercice introductif aborde la notion fondamentale du changement de variable pour linéariser un nuage de points. L'objectif est de transformer une relation non linéaire entre deux variables x et y en une relation linéaire, plus simple à analyser, une compétence clé dans l'analyse de données en terminale technologique.

• La première question consiste à appliquer deux changements de variable distincts : \( u = x^2 \) et \( v = \frac{1}{x} \). Il s'agit de calculer les nouvelles coordonnées des points et de compléter un tableau de valeurs.
• Ensuite, l'analyse porte sur le nuage de points \( (u_i ; y_i) \). En calculant le coefficient directeur entre des points consécutifs, on vérifie si un ajustement affine est pertinent. Si les coefficients directeurs sont constants, les points sont alignés, et un modèle de la forme \( y = au+b \) est adapté.
• La même analyse est menée pour le nuage \( (v_i ; y_i) \) afin de déterminer quel changement de variable est le plus efficace pour obtenir un nuage de points alignés.
• Finalement, l'exercice demande de synthétiser les résultats en déduisant une expression de y en fonction de x. Par exemple, si l'ajustement affine est pertinent pour u, on obtient une fonction du type \( y = ax^2+b \). Cette question valide la compréhension de l'intérêt du changement de variable pour la modélisation.

Exercice 2 : Modélisation de la Croissance d'Abonnés (Ajustement Exponentiel)

Ce second exercice, plus complet, est un problème concret de modélisation de la croissance du nombre d'abonnés d'une entreprise. Il met en œuvre un ajustement exponentiel via un changement de variable logarithmique, un grand classique des sujets de baccalauréat en filière technologique (STL, STI2D).

• Le problème débute par l'application du changement de variable \( z = \log y \). Les élèves doivent calculer les valeurs de z et compléter le nuage de points \( (x_i; z_i) \).
• La question 2 est une question d'interprétation graphique. En comparant le nuage initial \( (x_i; y_i) \) au nuage transformé \( (x_i; z_i) \), on doit justifier pourquoi un ajustement affine est plus adapté pour le second. Le nuage initial montre une croissance de plus en plus rapide (exponentielle), tandis que le nuage transformé présente des points quasi-alignés.
• La troisième question introduit un programme Python qui calcule la somme des carrés des résidus \( S(a, b) = \sum (z_i - (ax_i + b))^2 \). C'est une initiation au principe de la méthode des moindres carrés. Il faut analyser le code pour comprendre son fonctionnement et identifier les meilleurs paramètres a et b (ceux qui minimisent S) parmi ceux testés.
• À l'aide de la calculatrice, on détermine ensuite l'équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés : \( z = ax+b \).
• La question 5 est cruciale : elle consiste à revenir au modèle initial. En partant de \( \log y \approx ax+b \), on doit montrer que \( y \approx k \times q^x \). Cette transformation algébrique (\( y \approx 10^b \times (10^a)^x \)) permet de passer d'un modèle linéaire sur le logarithme à un modèle exponentiel sur les données brutes. L'interprétation du paramètre q en tant que taux d'évolution annuel est un attendu classique.
• La dernière question aborde les notions de prédiction et les limites du modèle. On utilise l'équation pour faire une extrapolation (prédire le nombre d'abonnés pour 2027) et on mène une réflexion critique sur la validité d'une prédiction à très long terme (2040), où le modèle risque de ne plus être pertinent.

Exercice 3 : Analyse Critique d'une Copie d'Élève (L'horloge à l'iode)

Ce dernier exercice est un exercice d'analyse critique et de détection d'erreurs, une compétence essentielle. Il s'agit d'évaluer le raisonnement d'un élève fictif sur un problème de cinétique chimique modélisé par un ajustement après un changement de variable faisant intervenir la fonction inverse.

• Le contexte est une réaction où la durée t dépend de la concentration c d'un réactif. Le changement de variable proposé est \( u = \frac{1}{c} \).
• La première question demande de vérifier les calculs de l'élève. On admet ensuite l'équation de la droite d'ajustement trouvée par l'élève : \( t = 301u + 1 \).
• La question 2 pointe une erreur classique : l'élève a confondu la variable transformée u avec la variable initiale c. Il faut expliquer cette confusion, donner l'expression correcte de t en fonction de c (qui est \( t = \frac{301}{c} + 1 \)) et l'utiliser pour un calcul d'application.
• La dernière question demande une double critique d'une conclusion de l'élève sur le comportement de la réaction à très haute concentration. La critique doit être menée d'une part en utilisant le modèle mathématique (calcul de la limite de t quand \( c \to \infty \)), et d'autre part en questionnant la validité de l'extrapolation très loin du domaine expérimental des mesures.